先上代码,和01背包问题的解法有略微的改动,区别在于遍历体积 $j$ 时从逆序改为顺序,在上一题中有我关于01背包问题的理解。
Python3 代码
if __name__ == '__main__':
n, m = map(int, input().split())
dp = [0] * (m + 1)
v, w = [0], [0]
for i in range(1, n + 1):
line = list(map(int, input().split()))
v.append(line[0])
w.append(line[1])
for j in range(v[i], m + 1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])
print(dp[m])
上一篇代码中,解释过,逆序是为了保证更新当前状态时,用到的状态是上一轮的状态,保证每个物品只有一次或零次;
在这里,因为每个物品可以取任意多次,所以不再强求用上一轮的状态,即本轮放过的物品,在后面还可以再放;
不妨按照思路,模拟一遍过程。
首先dp数组初始化全为0:给定物品种类有4种,包最大体积为5,数据来源于题目的输入
v[1] = 1, w[1] = 2
v[2] = 2, w[2] = 4
v[3] = 3, w[3] = 4
v[4] = 4, w[4] = 5
i = 1 时: j从v[1]到5
dp[1] = max(dp[1],dp[0]+w[1]) = w[1] = 2 (用了一件物品1)
dp[2] = max(dp[2],dp[1]+w[1]) = w[1] + w[1] = 4(用了两件物品1)
dp[3] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] = 6(用了三件物品1)
dp[4] = max(dp[4],dp[3]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 8(用了四件物品1)
dp[5] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 10(用了五件物品)
i = 2 时:j从v[2]到5
dp[2] = max(dp[2],dp[0]+w[2]) = w[1] + w[1] = w[2] = 4(用了两件物品1或者一件物品2)
dp[3] = max(dp[3],dp[1]+w[2]) = 3 * w[1] = w[1] + w[2] = 6(用了三件物品1,或者一件物品1和一件物品2)
dp[4] = max(dp[4],dp[2]+w[2]) = 4 * w[1] = dp[2] + w[2] = 8(用了四件物品1或者,两件物品1和一件物品2或两件物品2)
dp[5] = max(dp[5],dp[3]+w[2]) = 5 * w[1] = dp[3] + w[2] = 10(用了五件物品1或者,三件物品1和一件物品2或一件物品1和两件物品2)
i = 3时:j从v[3]到5
dp[3] = max(dp[3],dp[0]+w[3]) = dp[3] = 6 # 保持第二轮的状态
dp[4] = max(dp[4],dp[1]+w[3]) = dp[4] = 8 # 保持第二轮的状态
dp[5] = max(dp[5],dp[2]+w[3]) = dp[4] = 10 # 保持第二轮的状态
i = 4时:j从v[4]到5
dp[4] = max(dp[4],dp[0]+w[4]) = dp[4] = 10 # 保持第三轮的状态
dp[5] = max(dp[5],dp[1]+w[4]) = dp[5] = 10 # 保持第三轮的状态
上面模拟了完全背包的全部过程,也可以看出,最后一轮的dp[m]即为最终的返回结果。
上述代码可以进行简化
根据模拟过程可以发现,遍历每一轮i时,用到的v[i]和w[i]只来自本轮的输入,并且之后不会再用到,因此不用创建数组来存这两个值。
if __name__ == '__main__':
n, m = map(int, input().split())
dp = [0] * (m + 1)
for i in range(1, n + 1):
v, w = map(int, input().split())
for j in range(v, m + 1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w)
print(dp[m])