石子合并 Python 动态规划
题目描述
有 N堆石子排成一排,其编号为 1,2,3,…,N。
每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述,现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。
每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。
例如有 4堆石子分别为 1 3 5 2, 我们可以先合并 1、2堆,代价为 4,得到 4 5 2, 又合并 1、2堆,代价为 9,得到 9 2 ,再合并得到 11,总代价为 4+9+11=24;
如果第二步是先合并 2、3堆,则代价为 7,得到 4 7,最后一次合并代价为 11,总代价为 4+7+11=22。
问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。
样例
4
1 3 5 2
22
算法1
(动态规划) $O(n^2)$
区间DP,和矩阵连乘是很像的,状态都表示一个区间
状态表示:f(i, j), 代表从第i堆合并到第j堆所消耗的最小代价
状态计算:按最后一步,合并哪两堆分类,分类界限,或者就叫做“分界点k”来分类,
那么状态迁移就是$min(f[i, k] + f[k + 1, j] + s[j] - s[i - 1])$
也涉及前缀和算法,前缀和就是s[i] - s[i - 1] = a[i], 初始化的时候就是s[i] = a[i] + s[i - 1]
另外区间DP的循环部分有个规律:
按区间长度枚举
按区间起点枚举:
左右边界确定,初始化状态数组(赋大值,因为涉及min(本身)的操作)
按分界点枚举
状态计算
最优值在f[1][n]取到
时间复杂度
二维,子问题数量共$n^2$个,每次求解损耗时间为三次计算$O(1)$,
所以总的时间复杂度为$O(n^2)$
Python 代码
n = int(input())
nums = [0] + list(map(int, input().strip().split()))
f = [[0] * 310 for i in range(310)]
s = [0] * 310
if __name__ == "__main__":
#前缀和处理
s[1] = nums[1]
for i in range(2, n + 1):
s[i] = s[i - 1] + nums[i]
#区间DP的遍历顺序,长度-起点-分界点
for len in range(2, n + 1): #长度为1,代价值为0
for i in range(1, n - len + 2):
l, r = i, len + i - 1
f[l][r] = 2e9 #这种类型(即状态计算中有min(本身在里头)的)的要初始化f[][]为一个大值
for k in range(l, r):
f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1])
print(f[1][n])