线性代数中的二次型是一种特殊的多项式形式,其中只包含二次项。以下是线性代数中二次型的一些重要概念和性质的摘要:
定义:二次型是形如 $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x}$ 的函数,其中 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维列向量,$\mathbf{A}$ 是一个 $n \times n$ 的实对称矩阵。
矩阵 $\mathbf{A}$ 的性质:
实对称矩阵:$\mathbf{A}$ 的元素满足 $a_{ij} = a_{ji}$。
主对角线元素:$a_{ii}$ 是 $\mathbf{A}$ 的对角线上的元素。
二次型矩阵的转置:$Q(\mathbf{x})$ 中 $\mathbf{A}$ 的转置等于自身,即 $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}$。
标准形式:通过正交变换,可以将二次型转化为标准形式 $Q(\mathbf{x}) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \ldots + \lambda_n x_n^2$,其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是实数且满足 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_n$。
正定、负定和不定二次型:
正定二次型:对于所有非零向量 $\mathbf{x}$,有 $Q(\mathbf{x}) > 0$。
负定二次型:对于所有非零向量 $\mathbf{x}$,有 $Q(\mathbf{x}) < 0$。
不定二次型:既存在使 $Q(\mathbf{x}) > 0$ 的向量,也存在使 $Q(\mathbf{x}) < 0$ 的向量。
规范形式:根据二次型的正负定性质,可以得到不同的规范形式。
正定规范形式:$Q(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_r^2$,其中 $r \leq n$。
负定规范形式:$Q(\mathbf{x}) = -x_1^2 - x_2^2 - \ldots - x_s^2$,其中 $s \leq n$。
混合规范形式:$Q(\mathbf{x}) = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_r^2 - x_{r+1}^2 - \ldots - x_s^2$,其中 $r + s \leq n$。
这些是线性代数中关于二次型的主要概念和性质
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