整数划分
一个正整数 $ n $ 可以表示成若干个正整数之和,形如:$ n = n_1 + n_2 + … + n_k $,其中 $ n_1 \ge n_2 \ge … \ge n_k, k \ge 1 $。
我们将这样的一种表示称为正整数 $ n $ 的一种划分。
现在给定一个正整数 $ n $,请你求出 $ n $ 共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行,包含一个整数 $ n $。
输出格式
共一行,包含一个整数,表示总划分数量。
由于答案可能很大,输出结果请对 $ 10^9 + 7 $ 取模。
数据范围
$ 1 \le n \le 1000 $
输入样例:
5
输出样例:
7
如何dp?
- 集合:$f[i][j]$表示在1~i中选,加起来恰好是j的方案数
很像完全背包,i是物品,j是体积
集合属性:数量
集合划分:
集合划分也和完全背包相似,根据选几个第i个数(物品)划分
状态计算
方案总数就是把各种选法加起来
因此,$f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …$①
同理,$f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + …$②
将②带入①中,得,$f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]$这里的化简和完全背包一模一样
因此可以用滚动数组优化
码来!
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9+7;
int f[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
f[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = i; j <= n; j++)
{
f[j] = (f[j] + f[j-i]) % MOD;
}
}
printf("%d", f[n]);
return 0;
}
@majoege