题目描述

给定一个长度为 $n+1$ 的数组nums，数组中所有的数均在 $1∼n$ 的范围内，其中 $n≥1$。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。

返回 2 或 3。

算法

(分治，抽屉原理) $O(nlogn)$

这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

抽屉原理：n+1 个苹果放在 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 n+1 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的取值的区间[1, n]划分成[1, n/2]和[n/2+1, n]两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。
注意这里的区间是指 数的取值范围，而不是 数组下标。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。
这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于n，和有n+1个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

复杂度分析

1. 时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小 $O(logn)$ 次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是 $O(n)$。所以总时间复杂度是 $O(nlogn)$。
2. 空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是 $O(1)$。

参考文献

yxc大神的题解

Go 代码

func duplicateInArray(nums []int) int {
    l,r:=1,len(nums)-1
    for l<r{
        mid:=(l+r)>>1
        s:=0
        for _,x:=range nums{
            if x>=l&&x<=mid{
                s++
            }
        }
        if s>mid-l+1{
            r=mid
        }else{
            l=mid+1
        }
    }
    return r
}