题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数,表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
样例
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例:
8
算法1
(01背包) $O(n^2)$
闫氏背包问题基本思路:分成状态表示和状态计算两部分来思考递推式
这题思路:
1.状态表示:使用f(i,j)来表示只从前i个物品里选,并且总体积小于j,使得他的价值最大
2.状态计算:先将集合划分,划分成拿去物品包含第i个和不包含两种情况
1)不包含i:那就是从1~i-1中间选,使得体积小于j,也就是f(i-1,j)
2)包含i,这里采用“曲线救国的方式”,已知包含i,先将i减去,也就是从1~i-1中挑,使得体积小于j减去i的体积,也就是f(i-1,j-v[i]),然后再加上i的价值就是包含i的情况下的式子,也就是f(i-1,j-v[i])+w[i];
最后,对两个部分去最大值就是所求:max(f(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i]);
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];//读入体积和价值
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(v[i]<=j)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//当第i个物品的体积本身就大于背包体积时,含i那部分的集合就是空集
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
算法2
(暴力枚举) $O(n^2)$
blablabla
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
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