AcWing 91. 最短Hamilton路径

AcWing 91. 最短Hamilton路径原题链接中等

作者：

秦淮岸灯火阑珊 , 2019-01-17 11:24:09 , 所有人可见 , 阅读 12416

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题目描述

给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（记为a[i,j]）。

对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围
$1 \le n \le20$
$0 \le a[i,j] \le 10^7$
输入样例：
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例：
18

算法1

(暴力枚举) $O(n*n!)$

NP完全问题，相信纯暴力都可以写出，所以蒟蒻懒得写了

正解

正解思路(建议先看代码，不然有点难理解)

首先我们要思考如果让这个NP完全题目复杂度降低，那么可以优先考虑到使用位运算，状态压缩等解决思路。

然后接着思考，我们可以发现，我们所需要的不是整个方案，而只是方案最优解，所以我们只需要记录当前这个方案的最优解即可，那么我们考虑的状态，不久只有，在当前方案i中，目前抵达的点是j。

现在既然装填已经确定好了当前点j，那么这个j点是由哪一个状态移动而来的呢？我们可以选择k，也就是说我们的状态转移方程可以为

f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]//感谢楼下大佬们指出打字错误.

以上转移方程，weight数组为权值，也就是weight[k][j]是k点到j点的权值

i^(1<<j)的意思是，i 异或 1右移j位，具体来说就是i这个方案集合 xor 10……0,(其中1的位置在第j位)。

那么这个位运算有什么用处呢，第一点它是在判断第j位的情况，第二点位运算处理速度很快。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,f[1<<20][21],i,j,k;
int weight[21][21];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);//加快cin的读入速度，但是scanf将会不能用。
    memset(f,0x3f,sizeof(f));//初始化最大值
    cin>>n;
    for (i=0; i<n; i++)
        for (j=0; j<n; j++)
            cin>>weight[i][j];
    f[1][0]=0;//第一个点是不需要任何费用的
    for (i=1; i<(1<<n); i++)//i代表着是一个方案集合，其中每一个位置1和0，代表着这个点经过还是没有经过
        for (j=0; j<n; j++)//枚举当前到了哪一个点
            if ((i>>j & 1))//如果i集合中第j位是1，也就是到达过这个点
                for (k=0; k<n; k++)//枚举到达j的点k
                    if ((i^(1<<j)) >> k & 1)//重点，判断k和j的条件，具体在上面解说
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+weight[k][j]);//选择最小值，也就是判断，k点到j点最优，还是以前的方案最优
    cout<<f[(1<<n)-1][n-1];//输出最后的最优值
    return 0;
}

68 评论

剑指Rejection 2019-11-28 21:08

谢谢您
但是我发现，把if ((i^(1<<j)) >> k & 1)这句话去掉也能AC
是因为数据水吗？还是这个判断就是不必要的？

剑指Rejection 2019-11-28 21:30

下面把$i$看成是一个集合。这个判断应该等价于$k\in i$(从集合$i$中去掉城市$j$不影响$k\in i$的真假，除非$k=j$，但是这种情况不会影响对答案的优化)。那么把这个if去掉，就会导致满足$k\not \in i$的$k$参与答案优化。但是$f({x},y)$这种状态是始终为无穷大的，归根到底也不会对答案有什么贡献，所以这个if是可以去掉的。各位大佬觉得呢……