题目描述
给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
给定一张边带权的无向图 $G=(V,E)$,其中 $V$ 表示图中点的集合,$E$ 表示图中边的集合,$n=|V|$,$m=|E|$。
由 $V$ 中的全部 $n$ 个顶点和 $E$ 中 $n−1$ 条边构成的无向连通子图被称为 $G$ 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 $G$ 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $m$ 行,每行包含三个整数 $u,v,w$,表示点 $u$ 和点 $v$ 之间存在一条权值为 $w$ 的边。
输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
数据范围
$1≤n≤10^5,$
$1≤m≤2∗10^5,$
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 $1000$。
样例
输入样例:
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例:
6
算法
Kruskal算法
时间复杂度
$O(mlogm)$
其中一方面是使用快速排序对所有的边按照权重从小到大排序 O(mlogm)
另一方面是并查集的简单应用 O(1), 循环m次, O(m * 2)=O(m)
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M=200010, INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
// 使用并查集
int p[N]; // 并查集中 存储每个元素的父节点
// 自定义结构体存储边
struct Edge
{
int a, b, w;
// 将所有边按权重从小到大排序
bool operator< (const Edge &edge)const
{
return w<edge.w;
}
}edges[M];
int find(int x)
{
if(p[x] != x) p[x]=find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges+m); //将边按照权重大小从小到大排序
// 初始化并查集
for (int i=1; i<=n; i++) p[i] = i;
// res 存储最小生成树中所有边的权重和
// cnt存储当前加入的边数
int res = 0, cnt = 0;
// 从小到大枚举所有的边
for (int i=0; i<m; i++)
{
int a=edges[i].a, b = edges[i].b, w=edges[i].w;
a = find(a), b=find(b); // 查找a的祖宗节点和b的祖宗节点
if (a != b) //表示a所在的树 和 b所在的树不连通
{
res += w;
cnt ++;
p[a] = b; //将a,b之前的边加入最小生成树(集合)
}
}
if (cnt < n-1) return INF; // 加入的边小于n-1, 说明原图不连通
else return res;;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i=0; i<m; i++)
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w};
}
int t = kruskal();
if (t == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}