分析
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本题是一个二分图,两组点分别是单位和桌子,每个单位和每个桌子都可以连一条边,容量为1,每个点可以选择多条边进行匹配。因此求解的二分图的多重匹配问题。
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考虑如何建图:本题需要虚拟源点
S
和虚拟汇点T
,让S
向每个单位连一条边,权重为单位人数;让每个桌子向T
连接一条边,权重为可以容纳的人数。 -
此时问题变成了求解新图的最大流(证明略),如果最大流的大小等于所有单位人数之和,说明每个人都可以被分到一个餐桌上,存在一组合法解;否则不存在合法解。
代码
- C++
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 430, M = (150 * 270 + N) * 2, INF = 1e8;
int m, n, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], cur[N];
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx++;
}
bool bfs() {
int hh = 0, tt = 0;
memset(d, -1, sizeof d);
q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];
while (hh <= tt) {
int t = q[hh++];
for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
int ver = e[i];
if (d[ver] == -1 && f[i]) {
d[ver] = d[t] + 1;
cur[ver] = h[ver];
if (ver == T) return true;
q[++tt] = ver;
}
}
}
return false;
}
int find(int u, int limit) {
if (u == T) return limit;
int flow = 0;
for (int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
cur[u] = i;
int ver = e[i];
if (d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
int t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
if (!t) d[ver] = -1;
f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
}
}
return flow;
}
int dinic() {
int r = 0, flow;
while (bfs()) while (flow = find(S, INF)) r += flow;
return r;
}
int main() {
cin >> m >> n;
S = 0, T = m + n + 1;
memset(h, -1, sizeof h);
int tot = 0; // 所有单位人数和
// 读取每个单位人数
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int r;
cin >> r;
add(S, i, r);
tot += r;
}
// 读取每个桌子容纳人数
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int c;
cin >> c;
add(m + i, T, c);
}
// 建立从单位到桌子的边
for (int i = 1; i <= m; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
add(i, m + j, 1);
if (dinic() != tot) puts("0");
else {
puts("1");
for (int i = 1; i <= m; i++) { // 枚举每个单位
for (int j = h[i]; ~j; j = ne[j])
if (e[j] > m && e[j] <= m + n && !f[j])
cout << e[j] - m << ' '; // 该单位可以向 e[j]-m 号桌派一个人
cout << endl;
}
}
return 0;
}