题目描述
$X$ 国王有一个地宫宝库,是 $n\times m$ 个格子的矩阵,每个格子放一件宝贝,每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角,出口在右下角。
小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。
当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是 $k$ 件,则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这 $k$ 件宝贝。
输入格式
第一行 $3$ 个整数 $n,m,k$ 含义见题目描述。
接下来 $n$ 行,每行有 $m$ 个整数 $C_{i}$ 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数,表示正好取 $k$ 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大,输出它对 $1000000007$ 取模的结果。
数据范围
$1≤n,m≤50$,
$1≤k≤12$,
$0≤C_{i}≤12$
样例
输入样例1:
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1:
2
输入样例2:
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2:
14
算法1
动态规划 $O(n^2)$
-
状态表示: $f(i, j, k, c)$ 表示从$(1, 1)$ 到 $(i, j)$ 这个位置, 恰好有 $k$ 件物品, 且最后一件物品的价值为 $c$ 的方案数.
-
状态计算: 根据从哪个方向转移过来以及是否拿起 $(i, j)$ 位置的物品可以将方案进行划分.
-
初始状态:
拿 $(1, 1)$ 位置的物品 $f(1, 1, 1, w[1][1]) = 1$.
不拿 $(1, 1)$ 位置的物品 $f(1, 1, 0, -1) = 1$.
注意到 $-1$ 的下标不存在, 因此将 $-1 到 12$ 的范围映射到 $1 到 13$, 因此在读入的时候所有的位置价值 $+1$, $f(1, 1, 0, 0) = 1$即可.
时间复杂度
参考文献
y总讲解
C++ 代码
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 51, mod = 1e9 + 7;
int n, m, k;
int f[N][N][13][14], w[N][N];
int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
scanf("%d", &w[i][j]);
w[i][j]++;
}
f[1][1][1][w[1][1]] = 1, f[1][1][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
if (i == 1 && j == 1) continue;
for (int u = 0; u <= k; ++ u)
for (int v = 0; v <= 13; ++ v) {
int &val = f[i][j][u][v];
val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % mod;
val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % mod;
if (u > 0 && v == w[i][j]) {
for (int c = 0; c < v; ++ c) {
val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % mod;
val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % mod;
}
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i <= 13; ++ i) res = (res + f[n][m][k][i]) % mod;
printf("%d\n", res);
return 0;
}