AcWing 1017. 怪盗基德的滑翔翼

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AcWing 1017. 怪盗基德的滑翔翼原题链接简单

作者：

一只野生彩色铅笔 , 2021-05-29 16:04:08 , 所有人可见 , 阅读 7282

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8

最近在补全提高课所有题目的题解，宣传一下汇总的地方提高课题解补全计划

题目描述

题目给定一个长度为 $n$ 的一维数组 $w[n]$，表示每个楼房的高度

怪盗基德可以选定任意一个楼房，作为他的起始位置

他可以选择向左或向右出发直到边界，途中不能改变方向

题目要求我们找出一条路径，使得他飞行的路线上，经过的高度递减的楼房子序列长度最大

输出该子序列的长度

题解

这题选比较裸的一道题，我们先来分析一下题目

首先，求一个高度递减的楼房子序列长度最大，其实就是求一个最长下降子序列

然后，这个怪盗基德老哥可以选择任意楼房作为起始位置，接着选择一个方向飞到尽头

于是，我们可以画出如下三种情况：

对于左边界情况来说，其实就是中间位置的左侧序列长度为 $0$ 的情况；右边界情况同理

所以，我们只需讨论中间情况即可（两侧边界情况是该情况的子集）

于是，对于任意位置 $x$，我们分别需要求出以他为右端点的最长上升子序列，以及作为左端点的最长下降子序列

而DP中经典的最长上升子序列模型f[i]的状态表示就是以i为端点的最长上升子序列

由此我们通过线性DP，可以求出任一点的左侧最长上升和右侧最长下降

两者取一个 $\mathrm{Max}$，就是以该点作为起点的最佳飞行方向的最大长度

然后再枚举所有点取一个 $\mathrm{Max}$，就是最佳起点的最大长度，便是本题的答案

这题的DP模型就是经典的最长上升子序列

闫氏DP分析法

$$ \begin{cases} 状态表示f_i \begin{cases} 集合: 以第i个位置作为最长上升子序列的右端点的方案 \\\ 属性: 方案的子序列长度最大 Max \end{cases} \\\ 状态转移 f_i = max\{1, max\{\sum_{j=1}^{i-1}f_j\}+1\} \quad (a_i > a_j) \end{cases} $$

集合划分

Code

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int K, n;
int w[N];
int f_up[N], f_dw[N];


int main()
{
    scanf("%d", &K);
    while (K -- )
    {
        memset(f_up, 0, sizeof f_up);
        memset(f_dw, 0, sizeof f_dw);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &w[i]);

        //最长上升子序列
        //哨兵，不设置的话，需要在循环里额外写一条f[i]=1作为初值
        w[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        {
            for (int j = 0; j < i; ++ j)
            {
                if (w[i] > w[j]) f_up[i] = max(f_up[i], f_up[j] + 1);
            }
        }

        //反向最长上升
        w[n + 1] = 0;
        for (int i = n; i; -- i)
        {
            for (int j = n + 1; j > i; -- j)
            {
                if (w[i] > w[j]) f_dw[i] = max(f_dw[i], f_dw[j] + 1);
            }
        }

        int res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        {
            res = max(res, f_up[i]);
            res = max(res, f_dw[i]);
        }
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

16 评论

y总保佑我nobug 2023-05-02 10:02

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N =110;
int w[N],up[N],down[N];

int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(up,0,sizeof up);
        memset(down,0,sizeof down);
        int res = 0;
        int n;
        cin>>n;
        if(n==1) res =1;
        for(int i = 0 ;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&w[i]);
            down[i] = 1;up[i] = 1;

            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                //up
                if(w[i]<w[j])
                    up[i] = max(up[i],up[j]+1);
                res = max(res ,up[i]);
                //down
                if(w[i]>w[j])
                    down[i] = max(down[i],down[j]+1);
                res = max(res,down[i]);
            }

        }
        printf("%d\n",res);
    }

}

感觉可以更简单一点

诠释 2024-04-17 10:20

同样思路！res初始值可以直接赋1，这样就不用特判n==1的情况了！

law625 2024-03-27 20:16

为什么在计算上升子序列时，j要从0开始索引而不是1呢

秧歌star 2023-12-31 17:26

#include[HTML_REMOVED]
#include[HTML_REMOVED]
#include[HTML_REMOVED]

using namespace std;

const int N = 110;

int T,n,a[N],q[N],tt,hh;

int find(int x)
{
int l = hh, r = tt;
while(l < r)
{
int mid = (l +r) /2;
if(q[mid] >= x) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
int main()
{

ios::sync_with_stdio(false);
cin>>T;
while(T--)
{
    int res = 0;
    tt = -1, hh = 0;
    memset(q,0,sizeof q);
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin>>a[i];
    q[++tt] = a[1];
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        if(a[i] > q[tt]) q[++tt] = a[i];
        else 
            q[find(a[i])] = a[i];
    res = tt + 1;
    tt = -1,hh = 0;
    q[++tt] = a[n];
    for(int i = n-1; i >= 1; i--)
        if(a[i] > q[tt]) q[++tt] = a[i];
        else
            q[find(a[i])] = a[i];
    res = max(res,tt + 1);
    cout<<res<<endl;
}
return 0;

}

感觉可以优化

包子云 2022-03-07 20:08

    f[i] = 1;
    for (int j = 1; j < i; j++)

铅笔把这两行改成了这个，我好菜写了好几道才发现

 for (int j = 0; j < i; ++ j)

如此如此 2023-03-15 00:22

还要加上前面对w的初始化

acacacrkw 2021-10-04 09:41

写的思路好清晰啊

一只野生彩色铅笔 2021-10-04 14:54

感谢支持 w

妄想の岚がそこに 2021-10-02 15:19

求最长下降子序列应该从后往前推吧

一只野生彩色铅笔 2021-10-02 16:40

对的，是y总数据弱了

这题解挂这误人子弟了5个月，太惭愧了

迷弟 2021-10-09 16:25 回复了一只野生彩色铅笔的评论

这题真迷惑。。竟然不会撞楼，可以绕过去。。。我现在才想明白

freezing 2021-11-18 17:29 回复了迷弟的评论

看到你这句话也才懂hh

Liuf 2022-04-14 18:36 回复了迷弟的评论

我也是hh

Cretaceous 2022-05-30 17:50 回复了迷弟的评论

hh原来是这样

白子伍 2022-08-25 10:15 回复了迷弟的评论

我刚刚就在想这个问题，我以为是连续的

吴俊潇 2023-03-01 20:27 回复了迷弟的评论

# 我也是这样,纠结了好久

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