题目描述
设有 N×N 的方格图,我们在其中的某些方格中填入正整数,而其它的方格中则放入数字0。如下图所示:
某人从图中的左上角 A 出发,可以向下行走,也可以向右行走,直到到达右下角的 B 点。
在走过的路上,他可以取走方格中的数(取走后的方格中将变为数字0)。
此人从 A 点到 B 点共走了两次,试找出两条这样的路径,使得取得的数字和为最大。
输入格式
第一行为一个整数N,表示 $ N \times N$ 的方格图。
接下来的每行有三个整数,第一个为行号数,第二个为列号数,第三个为在该行、该列上所放的数。
行和列编号从 1 开始。
一行“0 0 0”表示结束。
输出格式
输出一个整数,表示两条路径上取得的最大的和。
数据范围
$N \leq 10$
输入样例:
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例:
67
题目要求从A到B走了两次,且每次经过即会拿方格中的数字,故我们可设一四维变量f[i1][j1][i2][j2]
,表示一条走到(i1, j1),另一条走到(i2, j2),只有两条路走到同一地点时,该地点的数字只能加一次,其余时刻均不会重复选取。
故我们可另取一变量k = i1 + j1 = i2 + j2,便可优化为三维状态表示方程f[k][i1][j1]
状态表示f[k, i1, i2]
集合:横纵坐标相加为k,一条路走到(i1, k - i1),另一条走到(i2, k - i2)时所获取数字的和。
属性:max
状态计算:
四种情况
1、两条均向下走
2、第一条向下,第二条向右
3、第一条向右,第二条向下
4、两条均向右走
f[k][i1][i2] = max
f[k][i1][i2]
f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t
f[k - 1][i1 - 1][i2] + t
f[k - 1][i1][i2 - 1] + t
f[k - 1][i1][i2] + t
C++ 代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];
int n;
int main() {
cin >> n;
while(1) {
int a, b, c;
cin >> a >> b >> c;
if(!a && !b && !c) break;
w[a][b] = c;
}
for(int k = 2; k <= n * 2; k ++ )
for(int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
for(int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ ) {
int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
if(j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n) {//防止越界发生错误
int t = w[i1][j1];
if(i1 != i2) t += w[i2][j2];//当两条路不重合时,两条路线走过的点的数字均要加上
int &x = f[k][i1][i2];
x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
}
}
cout << f[n * 2][n][n] << endl;
return 0;
}