题目描述
最长上升子序列Ⅱ
样例
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int q[N] , a[N];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 0 ; i < n ; i ++)
{
cin >> a[i];
}
int len = 0;
q[0] = -2e9;//将q[0]当作一个哨兵,为了保证数组中小于某个数的数存在。这里-2e9一定小于所有数。
for(int i = 0 ; i < n ; i++)
{
int l = 0 , r = len;
while(l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len , r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
printf("%d\n" , len);
return 0;
}
这段代码实现了求解最长上升子序列的问题,采用的是动态规划的方式。
首先,定义了一个常量N为1e5 + 10,表示数组的最大长度。然后定义了两个数组q[N]
和a[N]
,分别用来存储中间结果和输入的数组。
在主函数main()中,首先输入了一个整数n,表示数组a的长度。然后依次输入n个整数到数组a中。
接下来,定义了一个变量len表示当前最长上升子序列的长度,初始化为0。同时初始化数组q的第一个元素为一个极小值-2e9。
然后进行一个循环遍历数组a,对于每个元素a[i],使用二分查找找到在q数组中第一个大于等于a[i]的位置r,然后更新len为max(len, r + 1),最后将a[i]放到q数组中第r+1的位置。
最后输出len,即为最长上升子序列的长度。
这段代码的关键是利用二分查找来快速寻找插入位置,以减少查找时间,从而实现了在O($n$log$n$)的时间复杂度内求解最长上升子序列的长度。
在这段代码中,数组q[]
被用来存储中间结果,其中q[i]
表示长度为i
的上升子序列的最后一个元素的最小值。
具体来说,q[i]
存储的是当前已经考虑过的长度为i
的上升子序列中,最后一个元素的最小值。这样设计q[]
数组的目的是为了确保q[]
数组是一个递增的数组,这样可以方便地进行二分查找来找到合适的插入位置。
在代码中,初始化时将q[0]
赋值为一个极小值-2e9,这样保证了在插入第一个元素时,一定会更新q[1]
的值,从而形成长度为1的上升子序列。
在每次遍历数组a[]
的过程中,通过二分查找找到在q[]
数组中第一个大于等于当前元素a[i]
的位置r
,然后将a[i]
插入到q[r+1]
的位置,更新长度为r+1
的上升子序列的最后一个元素的最小值。
通过不断更新q[]
数组和长度len
,最终得到的len
即为最长上升子序列的长度。
因此,q[]
数组在这段代码中起到了关键的作用,帮助实现了求解最长上升子序列的算法。