题目描述
现有一块大奶酪,它的高度为 $h$,它的长度和宽度我们可以认为是无限大的,奶酪中间有许多半径相同的球形空洞。
我们可以在这块奶酪中建立空间坐标系,在坐标系中,奶酪的下表面为 $z=0$,奶酪的上表面为 $z=h$。
现在,奶酪的下表面有一只小老鼠 Jerry,它知道奶酪中所有空洞的球心所在的坐标。
如果两个空洞相切或是相交,则 Jerry 可以从其中一个空洞跑到另一个空洞,特别地,如果一个空洞与下表面相切或是相交,Jerry 则可以从奶酪下表面跑进空洞;如果一个空洞与上表面相切或是相交,Jerry 则可以从空洞跑到奶酪上表面。
位于奶酪下表面的 Jerry 想知道,在不破坏奶酪的情况下,能否利用已有的空洞跑到奶酪的上表面去?
空间内两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)、P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的距离公式如下:
$dist(P_1,P_2) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
输入格式
每个输入文件包含多组数据。
输入文件的第一行,包含一个正整数 $T$,代表该输入文件中所含的数据组数。
接下来是 $T$ 组数据,每组数据的格式如下:
第一行包含三个正整数 $n,h$ 和 $r$,两个数之间以一个空格分开,分别代表奶酪中空洞的数量,奶酪的高度和空洞的半径。
接下来的 $n$ 行,每行包含三个整数 $x、y、z$,两个数之间以一个空格分开,表示空洞球心坐标为 $(x,y,z)$。
输出格式
输出文件包含 $T$ 行,分别对应 $T$ 组数据的答案,如果在第 $i$ 组数据中,Jerry 能从下表面跑到上表面,则输出 Yes
,如果不能,则输出 No
。
数据范围
$1 \le n \le 1000$,
$1 \le h,r \le 10^9$,
$T \le 20$,
坐标的绝对值不超过$10^9$
输入样例:
3
2 4 1
0 0 1
0 0 3
2 5 1
0 0 1
0 0 4
2 5 2
0 0 2
2 0 4
输出样例:
Yes
No
Yes
题意简化
给定一块高 $h$,长宽无限的实心空间(大部),其中有 $n$ 块球形空心 $P_i(x_i,y_i,z_i)$,半径为 $r$。
当二球或一球与上表面或下表面相切或互相包含时认为两块空间联通。
问是否能通过空心从上表面走到下表面,如能,输出 Yes
,否则输出 No
。
算法1
(并查集) $O(n^2)$
此时有两个思路可以做
- 图的遍历
- $BFS$
- $DFS$
- 并查集
由于并查集实现较容易,我们通过并查集解决此问题。
由于每个空心的半径相同,我们可以只记录其球心坐标。
建立 $struct$,记录球心坐标属性:
struct node{
int x,y,z;
}q[N];
接下来判断两个空心是否连通,可分为两块内容考虑:
- 一球与上或下表面相接
- 上表面①
- 下表面②
- 两球相接
① 与上表面相接
奶酪长宽无限,因此此时是否相接不需要考虑 $x,y$,只需考虑 $z$ 到 上表面距离是否在 $r$ 范围内即可。
即 $|z - 0| ≤ r$,则相接。
可简略为 $|z| ≤ r$,则相接。
② 与下表面相接
同样我们只需要考虑 $z$ 坐标。那就是考虑 $z$ 到 $h$ 的距离。
即 $|z - h| ≤ r$,则相接。
两球相接
此时题目中有给定公式:
空间内两点 $P_1(x_1,y_1,z_1)、P_2(x_2,y_2,z_2)$ 的距离公式如下:
$dist(P_1,P_2) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$
我们通过此公式计算距离是否在 $r$ 范围内即可。
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1010;
int t;
int n,h,r;
struct node{
int x,y,z;
}q[N];
int p[N];
int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t --){
scanf("%d%d%d",&n,&h,&r);
for(int i = 0;i <= n + 1;i ++) p[i] = i;
for(int i = 1;i <= n;i ++){
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
q[i] = {x,y,z};
if(abs(z) <= r) p[find(i)] = find(0);
if(abs(z - h) <= r) p[find(i)] = find(n + 1);
}
for(int i = 1;i <= n;i ++){
for(int j = 1;j < i;j ++){
long long dx = q[i].x - q[j].x;
long long dy = q[i].y - q[j].y;
long long dz = q[i].z - q[j].z;
if(dx * dx + dy * dy + dz * dz <= 4 * (long long)r * r) p[find(i)] = find(j);
}
}
if(find(0) == find(n + 1)) puts("Yes");
else puts("No");
}
return 0;
}