矩阵快速幂
矩阵快速幂算法的思想与整数快速幂算法类似,都是利用了幂的性质来减少计算的次数。对于整数快速幂,我们利用了以下性质:
a^b = a^(b/2) * a^(b/2) (当b为偶数时) a^b = a * a^(b-1) (当b为奇数时)
矩阵快速幂算法也是类似的,但是应用于矩阵的乘法。给定一个矩阵A和一个整数k,我们想要计算A的k次幂,即A^k。矩阵快速幂算法利用了以下性质:
当k为偶数时,A^k = (A^(k/2)) * (A^(k/2))。
当k为奇数时,A^k = A * (A^(k-1))。
算法的基本步骤如下:
如果k为0,返回单位矩阵(任何矩阵乘以单位矩阵都等于它本身)。
如果k为偶数,递归计算A^(k/2),然后将结果平方。
如果k为奇数,先计算A^(k-1),然后将结果与A相乘。
矩阵快速幂算法的时间复杂度是O(log k),因为每次递归都会将幂次减半,直到幂次变为0。
在递归的最底层,当k等于1时,递归将返回A本身,因为任何数(或矩阵)的1次幂都是它本身。然后,在回溯过程中,它会将结果矩阵乘以A,以计算更高次幂的值。
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
vector<vector<int>> matrixMultiply(const vector<vector<int>>& A, const vector<vector<int>>& B, int n) {
vector<vector<int>> C(n, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < n; ++j) {
for (int k = 0; k < n; ++k) {
C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
}
}
}
return C;
}
vector<vector<int>> matrixPower(vector<vector<int>>& A, int n, int k) {
if (k == 1) {
return A;
}
if (k % 2 == 0) {
vector<vector<int>> halfPower = matrixPower(A, n, k / 2);
return matrixMultiply(halfPower, halfPower, n);
} else {
return matrixMultiply(A, matrixPower(A, n, k - 1), n);
}
}
int main() {
int n, k;
cin >> n >> k;
vector<vector<int>> a(n, vector<int>(n));
vector<vector<int>> res(n, vector<int>(n));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cin >> a[i][j];
}
}
res = matrixPower(a, n, k);
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cout << res[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
在这个代码中,matrixMultiply函数用于计算两个矩阵的乘积,而matrixPower函数用于递归地计算矩阵的幂。这个算法的时间复杂度是O(log k),因为它将幂次分解为一系列的平方和乘法操作。