题目描述
给定一个 n 个点 m条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500,1≤m≤10^5,图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例:
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例:
6
时间复杂度 $O(n^2)$
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=510,INF=0x3f3f3f3f3f;
int n,m;
int g[N][N],dist[N];
bool st[N];
int prim(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
int res=0;//res为生成树中边的和
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!st[j] && (t==-1 || dist[t]>dist[j])){
t=j;
//cout<<t<<' '<<dist[t]<<endl;
}
}
if(i && dist[t]==INF) return INF;//如果不是第一个点且离集合最近的点t都与集合的距离为正无穷,则此图是不连通的,不存在最小生成树
if(i) res+=dist[t];
//cout<<"---------"<<res<<endl;
st[t]=true;
for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);//与dijktra不同的地方,dijktra是dist[t]+g[t][j]。因为是用t更新其他点到!集合!的距离
}
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(i ==j) g[i][j] = 0;
else g[i][j] = INF;
while(m--){
int a,b,w;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],w);
}
int t=prim();
if (t==INF) puts("impossible");
else printf("%d",t);
}
python 代码
n,m=map(int,input().split())
maxd=float('inf')
g=[[maxd]*(n+1) for i in range(n+1)]
dist=[maxd]*(n+1)
st=[False]*(n+1)
res=0
for i in range(m):
a,b,w=map(int,input().split())
g[a][b]=min(g[a][b],w)#存储的是无向图
g[b][a]=min(g[b][a],w)
def prim():
global res
for i in range(n):
t=-1
for j in range(1,n+1):#寻找集合外距离集合最近的点t
if not st[j] and (t==-1 or dist[t]>dist[j]):
t=j
if i and dist[t]==maxd:
return maxd
if i:
res+=dist[t]
for j in range(1,n+1): #用t更新其他点到集合的距离
dist[j]=min(dist[j],g[t][j]) #注意是g[t][j]
st[t]=True #把t加到集合st内
return res
if prim()==maxd:
print("impossible")
else:
print(res)