前缀和—快速求静态数组某区间内所有数的和
(空间换时间)
一维
重新预处理一个数组 s
S0=0
Si=a1+a2+a3+a4+…+ai
Sn=a1+a2+a3+a4+…+an
s预处理:o(n)
for(int i=1;i<n;i++){
Si = Si-1 + ai;
}
所以求l~r区间的和时:
aL + aL+1 + aL+2 +…+ aR = Sr - Sl-1
例题
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i];
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
while(m--){
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
注:为了节省空间 可以少开一个数组 直接将a变为自己的前缀和数组
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int a[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i];
a[i]+=a[i-1];//直接将a变成自己的前缀和数组
}
while(m--){
int l,r;
cin>>l>>r;
cout<<a[r]-a[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
二维
(前缀和矩阵中每个数是原矩阵左上角数的和)
1 如何根据原矩阵计算出前缀和矩阵?—容斥原理
Sxy = Sx-1y + Sxy-1 - Sx-1y-1 +axy
2 如何利用前缀和矩阵计算某一子矩阵的和—容斥原理
Sxy = Sx2y2 - Sx2y1-1 - Sx1-1y2 + Sx1-1y1-1
例题代码 https://www.acwing.com/problem/content/description/798/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int main(){
int n,m,q;
cin>>n>>m>>q;
int a[N][N],s[N][N];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);//当成二维数组读入
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
}
while(q--){
int x1,x2,y1,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
}
return 0;
}