题目描述
给定一个长度为 N 的数列,求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数,表示完整序列。
输出格式
输出一个整数,表示最大长度。
数据范围
1≤N≤100000,
−109≤数列中的数≤109
样例
输入样例:
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例:
4
算法1
(dp转移方程法)
1.状态表示:f[i]表示以元素a[i]结尾的最长上升子序列的所有方案
2.属性:最长上升子序列的长度
3.状态计算:f[i]=max(f[i],f[k]+1)($a_k<a_i$);
ans=max($f_i$)
时间复杂度
$O(n^2)$
C++ 代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int a[N];
int f[N];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=1;
for(int j=1;j<i;j++){
if(a[i]>a[j]){
f[i]=max(f[i],f[j]+1);
}
}
}
int res=-1e9-10;
for(int i=1;i<=n;i++){
res=max(res,f[i]);
}
cout<<res<<endl;
return 0;
}
算法2
(贪心加二分)
1.用数组q[i]表示长度为i-1的最长上升子序列的结尾最小值是多少
2.依次枚举$a_i$,在枚举过程中更新答案即可。
时间复杂度
$O(nlog_2n)$
C++ 代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=100010;
int a[N],q[N];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int l=0,r=ans+1;//这里写的是左闭右开区间
while(l<r)
{
int mid=l+r>>1;
if(q[mid]>=a[i])r=mid;
else l=mid+1;
}
ans=max(ans,l);
q[l]=a[i];
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}