题目描述
一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格,去参加一个非常重要的商务活动。
他要从网格的左上角进,右下角出。
每穿越中间 1 个小方格,都要花费 1 个单位时间。
商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。
而在经过中间的每个小方格时,都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。
请问至少需要多少费用?
注意:不能对角穿越各个小方格(即,只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格)。
输入格式
第一行是一个整数,表示正方形的宽度 N。
后面 N 行,每行 N 个不大于 100 的正整数,为网格上每个小方格的费用。
输出格式
输出一个整数,表示至少需要的费用。
数据范围
1≤N≤100
样例
输入样例:
5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33
输出样例:
109
样例解释
样例中,最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。
算法1
(动态规划----数字三角形模型)
性质挖掘:
通过题目中的步数规定,我们可以发现:要想在规定的步数内走出去,则只能向右或者向下走,不能回头。
通过以上分析可以将题目转化为数字三角形模型
状态表示:
f[i][j]表示走到点(i,j)的所有方案
属性:
Max;
状态计算:
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])+w[i][j];
时间复杂度
$O(n^2)$
C++ 代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int a[N][N];
int f[N][N];
int n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
cin>>a[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==1&&j==1)f[i][j]=a[1][1];
else
{
f[i][j]=1e9;
if(i>1)f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+a[i][j]);
if(j>1)f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1]+a[i][j]);
}
}
}
cout<<f[n][n]<<endl;
return 0;
}