题目描述
给你一个长度为 n
下标从 0 开始的整数数组 maxHeights
。
你的任务是在坐标轴上建 n
座塔。第 i
座塔的下标为 i
,高度为 heights[i]
。
如果以下条件满足,我们称这些塔是 美丽 的:
1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
heights
是一个 山状 数组。
如果存在下标 i
满足以下条件,那么我们称数组 heights
是一个 山状 数组:
- 对于所有
0 < j <= i
,都有heights[j - 1] <= heights[j]
- 对于所有
i <= k < n - 1
,都有heights[k + 1] <= heights[k]
请你返回满足 美丽塔 要求的方案中,高度和的最大值。
样例
输入:maxHeights = [5,3,4,1,1]
输出:13
解释:和最大的美丽塔方案为 heights = [5,3,3,1,1],这是一个美丽塔方案,因为:
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
- heights 是个山状数组,峰值在 i = 0 处。
13 是所有美丽塔方案中的最大高度和。
输入:maxHeights = [6,5,3,9,2,7]
输出:22
解释: 和最大的美丽塔方案为 heights = [3,3,3,9,2,2],这是一个美丽塔方案,因为:
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
- heights 是个山状数组,峰值在 i = 3 处。
22 是所有美丽塔方案中的最大高度和。
输入:maxHeights = [3,2,5,5,2,3]
输出:18
解释:和最大的美丽塔方案为 heights = [2,2,5,5,2,2],这是一个美丽塔方案,因为:
- 1 <= heights[i] <= maxHeights[i]
- heights 是个山状数组,最大值在 i = 2 处。
注意,在这个方案中,i = 3 也是一个峰值。
18 是所有美丽塔方案中的最大高度和。
限制
1 <= n == maxHeights <= 10^5
1 <= maxHeights[i] <= 10^9
算法
(前后缀分解,单调栈) $O(n)$
- 使用单调栈预处理以每个塔 $i$ 作为顶峰时,其左侧所能形成的最大高度和 $left(i)$:维护一个变量 $tot$,表示当前前缀所有塔的高度之和;维护一个单调递增(可以相同)的栈,如果当前塔的最大高度小于栈顶的塔的高度,则栈顶塔 $top$ 需要出栈,出栈时,需要清空掉以栈顶塔为最高高度的区间的高度和,这个区间的范围是次顶塔(不含)到栈顶塔(含)之间的所有塔。不断迭代,直到满足递增的条件。然后,当前塔入栈,入栈后需要累加将当前位置到原栈顶位置的区间高度和,这个区间内的所有塔都需要以当前塔为最高高度。
- 预处理后,按照相同的方法从右往左处理,处理过程中,可以直接累加 $left(i) + tot - maxHeight(i)$($maxHeight(i)$ 被计算了两次,需要减去一次)。
时间复杂度
- 单调栈处理前缀和后缀,每个塔都最多只进栈一次,出栈一次,故时间复杂度为 $O(n)$。
空间复杂度
- 需要 $O(n)$ 的额外空间存储预处理数组和单调栈。
C++ 代码
#define LL long long
class Solution {
public:
LL maximumSumOfHeights(vector<int>& maxHeights) {
const int n = maxHeights.size();
vector<LL> left(n);
stack<int> st;
st.push(-1);
LL tot = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
while (st.size() > 1 && maxHeights[i] < maxHeights[st.top()]) {
int top = st.top();
st.pop();
tot -= (LL)(top - st.top()) * maxHeights[top];
}
tot += (LL)(i - st.top()) * maxHeights[i];
st.push(i);
left[i] = tot;
}
while (!st.empty())
st.pop();
st.push(n);
tot = 0;
LL ans = 0;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
while (st.size() > 1 && maxHeights[i] < maxHeights[st.top()]) {
int top = st.top();
st.pop();
tot -= (LL)(st.top() - top) * maxHeights[top];
}
tot += (LL)(st.top() - i) * maxHeights[i];
st.push(i);
ans = max(ans, left[i] + tot - maxHeights[i]);
}
return ans;
}
};
完了,连题都看不懂