[NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解
题目描述
有形如:$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数($a,b,c,d$ 均为实数),并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间),且根与根之差的绝对值 $\ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格),并精确到小数点后 $2$ 位。
提示:记方程 $f(x) = 0$,若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$,且 $x_1 < x_2$,$f(x_1) \times f(x_2) < 0$,则在 $(x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。
输入格式
一行,$4$ 个实数 $a, b, c, d$。
输出格式
一行,$3$ 个实根,从小到大输出,并精确到小数点后 $2$ 位。
样例 #1
样例输入 #1
1 -5 -4 20
样例输出 #1
-2.00 2.00 5.00
提示
【题目来源】
NOIP 2001 提高组第一题
思路
这道题就是对高中零点知识与二分的结合 先看图
因为题目精确到两位小数,所以根据零点存在相差1之间若两数互反则一定有零点存在。知道这个之后分类讨论即可
算法1(二分)
时间复杂度(nlogn)
C++AC代码
#include <iostream>
using namespace std;
double a, b, c, d;
double root(double x)
{
return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
}
int main()
{
int res = 0;
cin >> a >> b >> c >> d;
double l, r, x1, x2, mid;
for(int i = -100; i <= 100 && res != 3; i ++) //限定res三个数有助于缩短时间
{
l = i;
r = i + 1;
x1 = root(l);
x2 = root(r);
if (!x1)//判读右端点即可避免重复
{
res ++;
printf("%.2f ", l);
}
if (x1 * x2 < 0)//有根,开始二分查找
{
while(r - l >= 0.001)//设置精确度
{
mid = l + (r - l) / 2;//直接写左神的
if (root(mid) * root(r) <= 0) l = mid;
else r = mid;
}
printf("%.2f ", r);
res ++;
}
}
return 0;
}