题目描述
X 国王有一个地宫宝库,是 n×m 个格子的矩阵,每个格子放一件宝贝,每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角,出口在右下角。
小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。
当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是 k 件,则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入格式
第一行 3 个整数,n,m,k,含义见题目描述。
接下来 n 行,每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数,表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大,输出它对 1000000007 取模的结果。
数据范围
1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12
样例
输入样例1:
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1:
2
输入样例2:
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2:
14
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
/*地宫取宝:四维dp, f[i][j][k][c]表示走到(i,j), 恰好取了k件物品, 且最后取的一件物品价值为c的方案数
输出最终结果,即针对f[i][j][k][c]对c循环宝藏价值的范围即可
宝藏拿取的顺序,一定满足宝藏值严格单调递增
状态划分:
1、选择(i,j)坐标的宝藏
选择拿(i,j)的宝藏,必须满足w[i][j] == c, 因为拿完该宝藏后,最后取的一件物品价值即为c
1、最后一步从左向右走,f[i][j - 1][k - 1][c'], 其中c'范围是(0, c),依次循环
2、最后一步从上向下走,f[i - 1][j][k - 1][c'], 其中c'范围是(0, c),依次循环
2、不选择(i,j)坐标的宝藏
1、最后一步从左向右走 f[i][j - 1][k][c]
2、最后一步从上向下走 f[i - 1][j][k][c]
将四种情况的方案数全部相加
动态规划的初始化,只需要初始化起点即可
f[1][1][1][w[1][1]] = 1;(选择第一个点的宝藏,方案数+1)
f[1][1][0][0] = 1;(不选择第一个点的宝藏,方案数+1)
由于宝藏值可能从0开始,上一行数组的第四维取0的话可能会影响宝藏值为0的宝物的选取(必须选择比手里的宝藏值都大的宝藏)
所以把所有宝藏值都+1, 这样初始化时就可以初始化f[1][1][0][0] = 1;
时间复杂度:55*55*12*13*13
*/
const int N = 55, MOD = 1000000007;
int w[N][N], f[N][N][13][14];
int n, m, k;
int main(){
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++){
scanf("%d", &w[i][j]);
w[i][j] ++;//宝藏值范围:1-13
}
f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
f[1][1][0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i ++){
for (int j = 1; j <= m; j ++){
for (int u = 0; u <= 12; u ++){
for (int v = 0; v <= 13; v ++){//
int &val = f[i][j][u][v];//对数组值做引用,改变val时直接修改数组值
val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;//选择不拿宝藏
val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;
if (u > 0 && w[i][j] == v){//w[i][j]与v值恰好相同,并且拿取宝藏数量>0时,可以选择拿宝藏
for (int c = 0; c < v; c ++){//上一件物品的值必须比当前物品的值要小
val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD;//选择拿宝藏
val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD;
}
}
}
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= 13; i ++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;//走到最后一个点时, 只有最后一个宝藏的宝藏值可能不同,宝藏值的范围是1-13
cout << res << endl;
return 0;
}