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275.传纸条
小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。
一次素质拓展活动中,班上同学安排坐成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。
幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。
纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标 $(1,1)$,小轩坐在矩阵的右下角,坐标 $(m,n)$。
从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。
班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙,反之亦然。
还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用 $0$ 表示),可以用一个 $0 \sim 100$ 的自然数来表示,数越大表示越好心。
小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。
现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
第一行有 $2$ 个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$,表示学生矩阵有 $m$ 行 $n$ 列。
接下来的 $m$ 行是一个 $m \times n$ 的矩阵
矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度,每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值
数据范围
$1 \le n,m \le 50$
首先看题意,发现和上一题 AcWing 1027.方格取数 的题意相似
注意到题目条件:从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递,与方格取数的题意略有不同
可是这并不影响结果,因为任意一个从点 $(m, n)$ 到点 $(1, 1)$ 的路径都可以映射成一个从点 $(1, 1)$ 到点 $(m, n)$ 的路径
本题中还有一个条件:班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次
所以我们选的两条最优路径 不能经过同一个同学!
当然经过证明,这并不影响我们的结果。一定能找到一组最优解的两条路径 没有交点
看到别的题解都有证明,就不写了吧
证明还是要有的:
如上图,这是一个平平无奇的 不合法路径
我们首先将路径映射成一个 红色路径在蓝色路径下方的方案,如下图:
显然取得格子都相同,所以答案不变
接着我们来处理两条路径重叠时出现的交点
我们找到上图其中的一个不合法交点 $A$,做一些 微调整,如下图:
显然,新方案在原方案的基础上多走了 $1$ 个格子。所以 原方案的好心度之和 $\le$ 新方案的同学好心度之和
又因为两条最优路径都是 最短路,所以每一个不合法的点的左下角的同学和右下角的同学 一定有一个点上的同学没有传过纸条
将所有的不合法路径全部这样调整一遍,最终 一定 可以调整出一个合法的最优解,也就是 可以用方格取数的代码来通过本题
当然如果没有想到将非法路径如何转换成合法路径这题也可以做,但是要加上特判来防止查到非法路径
具体细节请看代码
c++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 59, M = 2 * N;
int n, m;//方格图的边长
int w[N][N];
int f[M][N][N];
int get(int i, int j, int k)
{
return max(max(f[k - 1][i - 1][j - 1], f[k - 1][i][j - 1]), max(f[k - 1][i - 1][j], f[k - 1][i][j]));
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> m;
int x, y, z;
for(int i = 1;i <= n;++ i)
for(int j = 1;j <= m;++ j)
cin >> w[i][j];
for (int k = 2;k <= m + n;++ k)
for (int i = 1;i < k;++ i)
for (int j = 1;j < k;++ j)
{
f[k][i][j] = get(i, j, k) + w[i][k - i];
if (i != j) f[k][i][j] += w[j][k - j];
}
cout << f[m + n][n][n] << endl;
return 0;
}
写的很好,尤其证明那里