分析:
逆序对的计算是在归并排序的基础上进行的。基于分治的思想,我们在求逆序对个数时要关注的是归并排序 中第 2 步的指针操作,当 $i,j$ 指针开始扫描时,若 $q[i] > q[j]$, 则 $q[i+1], q[i+2], …, q[mid]$ 均大于 $q[j]$ 的。这时我们的逆序对数量就能轻易地得出了。
附一张图来看一下:
代码(C++)
本题请注意数据范围,序列长度为$10^5$,当我们整个序列是倒叙时,逆序对数量是最多的。这样会爆int,原因见下。因此我们应该用long long类型来进行定义。
// 回顾归并排序的大致过程:
// 将区间一分为二后,递归两个子区间,将左右两个有序序列合并成一个有序序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N], temp[N];
typedef long long LL;
// 设计的归并排序能够在将区间排好序的同时返回该区间内逆序对的数量
// 数据范围是十万,当输入为逆序时,每个元素的逆序对将达到最大值,会爆 int
LL merge_sort(int a[], int l, int r)
{
// 区间大小为 1,无法构成“对”
if (l >= r) return 0;
int mid = (l + r) / 2;
LL ans = merge_sort(a, l, mid) + merge_sort(a, mid + 1, r);
int i = l, j = mid + 1, k = 0;
// 归并排序的第三步,极其关键
// a[i,mid] 为左半区间 a[j,r] 为右半区间
// 由归并排序插入 tmp 数组的判断条件 在当前区间排完序之前
// 左半区间是单调不减的 右半区间也是单调不减的
// 但这不意味着左半区间一定比右半区间小!!! 分清楚和快排的区别
while (i <= mid && j <= r)
{
if (a[i] <= a[j]) temp[k ++] = a[i ++];
// 若出现了 ai > aj 的情况,又由我们刚刚分析出的单调性
// 可以得出 ai ai+1 ... amid 均大于 aj
// 我们的逆序对数量就是 i 到 mid 这么多,数量为 mid-i+1
else
{
temp[k ++] = a[j ++];
// 从0开始计数,不包含本身
ans += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid) temp[k ++] = a[i ++];
while (j <= r) temp[k ++] = a[j ++];
for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++) a[i] = temp[j];
return ans;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
cout << merge_sort(a, 0, n - 1);
}