本文所讨论的外微分都只是一种形式上的简化，只是为了刻画stokes公式在高维上的表现，严格的外微分形式是复杂的，在本文中就不进行定义了。

外微分的引入

学习曲面和曲线积分时，我们经常会遇到一种“定向”的情况，比如最经典的Green公式
$$\oint_{\partial D }Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint_D (\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})dydx$$

仔细研究，我们发现这这其实是 $dxdy=-dydx$

这种交换顺序变号的“反交换律”使人想起向量的外积，于是也给这种微分之间的乘积起个名叫“外微分”，亦为微分的外乘积。

外微分形式

为了区别微分，我们以$\wedge$为外微分的记号。

外微分的运算遵从这些法则：

$$dx\wedge dy=-dy\wedge dx$$
$$dx\wedge dx=0$$

（实际上第二条能够由第一条直接得到）

另外，外微分也遵从分配律，结合律等基本运算法则。

接下来我们定义外微分形式 $\omega$，即由函数和外微分的线性组合。

一个函数 $f$ 被称为0次外微分形式。

$Pdx+Qdy+Rdz$ 被称为1次外微分形式。

$Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx+Cdx\wedge dy$ 为2次外微分形式。

$Hdx\wedge dy\wedge dz$ 为3次外微分形式。

（其中 $P,Q,R,A,B,C,H$ 都为 $x,y,z$ 的函数）

外微分运算

在外微分形式 $\omega$ 上，定义微分算子 $d$，记作 $d\omega$

首先规定0次外微分形式 $\omega=f$ 的外微分，记 $d\omega=df$，也就是普通的全微分。

规定了这一点，我们就能够知道所有外微分形式的微分了。

举个例子，一次外微分形式 $\omega=Pdx+Qdy$ 的微分

$$d\omega=dP\wedge dx+dQ\wedge dy+dR\wedge dR$$
$$=(\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy)\wedge dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx+\frac{\partial Q}{\partial y}dy)\wedge dy$$
$$=\frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx+\frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy$$
$$=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy$$

读者可自己尝试推导其它的外微分形式，本文不再赘述。

Stokes公式，Gauss公式与Green公式之统一

接下来进入本文的正题。

上一节我们推导了外微分形式 $Pdx+Qdy$ 的微分 $(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dx\wedge dy$。

如果你对第二类曲线积分掌握良好，你应该能产生一种熟悉之感，这岂不是Green公式

$$\oint_{\partial D }Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

中的系数。

如果令 $\omega =Pdx+Qdy$，那么Green公式即可通过外微分形式写作

$$\oint_{\partial D} \omega =\iint_{D} d\omega$$

这是一个很简洁的结果，但外微分的应用不仅仅在于此。

再来看Stokes公式

$$\oint_{\partial \Sigma} Pdx+Qdy+Rdz=\iint_\Sigma (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}) dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

实际上就是三个变量的一次外微分形式，与Green公式本质上是一样的，也可以写作

$$\oint_{\partial \Sigma}\omega=\iint_{\Sigma} d\omega$$

所以Stokes公式实际上就是Green公式的三维推广。

再看Gauss公式

$$\oint_{\partial \Omega} Pdy dz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_{\Omega }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$

左边就是2次外微分形式，而外微分形式

$$\omega=Ady\wedge dz+Bdz\wedge dx+Cdx\wedge dy$$
的外微分运算

$$d\omega=dA\wedge dy\wedge dz+dB\wedge dz\wedge dx+dC\wedge dx\wedge dy$$

$$=(\frac{\partial A}{\partial x}dx+\frac{\partial A}{\partial y}dy+\frac{\partial A}{\partial z}dz)\wedge dy\wedge dz+\frac{\partial B}{\partial x}dx+\frac{\partial B}{\partial y}dy+\frac{\partial B}{\partial z}dz)\wedge dz\wedge dx+\frac{\partial C}{\partial x}dx+\frac{\partial C}{\partial y}dy+\frac{\partial C}{\partial z}dz)\wedge dx\wedge dy$$

$$=\frac{\partial A}{\partial x}dx\wedge dy\wedge dz+\frac{\partial B}{\partial y}dx\wedge dy\wedge dz+\frac{\partial C}{\partial z}dx\wedge dy\wedge dz$$

$$=(\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z})dx\wedge dy\wedge dz$$

即Gauss公式的右边。

故Gauss公式也可写成

$$\oint_{\partial \Omega}\omega=\iiint_{\Omega} d\omega$$

（这个围道积分应写作两个积分符号的围道积分，但acwing的latex似乎不支持）

所以我们发现，这三个高维微积分的基本定理，都可以用外微分形式写作

$$\oint_{\partial U}\omega=\int_{U} d\omega$$

（若为 $n$ 维流形，左边为 $n-1$ 重围道积分，右边为 $n$ 重积分）

这被称为广义的Stokes公式，也是多变量微积分中最重要的公式。

回到单变量

最后来看微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式

$$f(b)-f(a)=\int_{a}^b f’(x)dx$$

如果把广义Stokes公式中的 $U$ 设为区域 $[a,b]$ ，$\omega$ 为0次外微分形式 $f$ （即函数 $f$ ）

则上式的围道积分即可转化为 $[a,b]$ 的区域边界上的函数值，即 $f(b)-f(a)$

而 $d\omega$ 即为单变量函数 $f$ 的微商 $f’$

故牛顿-莱布尼兹公式就是广义Stokes公式在 $R$ 上的特例。

广义Stokes公式揭示了$n$ 维空间和 $n-1$维空间的联系，这归功于外微分形式的简化。

参考资料

1. 龚昇《简明复分析》
2. 李逸《基本分析讲义》第二卷
3. 梅加强《数学分析讲义》