注:本文是为了回应myw的文章
$z^e=e^z$
设$z=x+yi=r(\cos \theta+i\sin \theta)$
其中$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta=\arctan (\frac{y}{x})$
则有$e^{x+yi}=[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^e$
挨个看等式两边。
$$e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}=e^x(\cos y+i\sin y)$$
$$[r(\cos \theta+i\sin \theta)]^e=r^e(\cos e\theta+i\sin e\theta)$$
于是有$e^x\cos y+ie^x\sin y=r^e\cos e\theta+ir^e\sin e\theta$
移项,得$e^x\cos y+ie^x\sin y-r^e\cos e\theta-ir^e\sin e\theta=0$
虚部对虚部,实部对实部,有
$$ e^x\cos y-r^e\cos e\theta=0 \\\ e^x\sin y-r^e\sin e\theta=0 $$
写成只有$x,y$的形式,得到
$$
e^x\cos y-(x^2+y^2)^{\frac{e}{2}}\cos( e\arctan(\frac{y}{x} ))=0 \\\
e^x\sin y-(x^2+y^2)^{\frac{e}{2}}\sin ( e\arctan(\frac{y}{x} ))=0
$$
这两个式子都是只包含$x,y$的实式,它们相联立,就描述了$z^e=e^z$的解的情况。
这么复杂的式子手算自然算不出来,于是我把它代入到万能的desmos里,如图为结果:
两条曲线的交点即为方程$e^x=x^e$的解,显然,在实轴上只有$x=e$这一个根,但在复平面上有无数个根。
有没有一种可能,AcWing 的文章标题可以使用 LaTeX(hh
原来如此,我竟然不知道
现在不行了啊
因为yxc怕渲染挂掉 把标题latex下了