求$(a^x)’$

即求
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}$$

$$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$$

$$=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

设
$$t=a^{\Delta x}$$

则
$$\Delta x=\log_a t$$

则原式可化为
$$=a^x\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\log_a t}$$

$$=a^x\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\frac{\ln t}{\ln a}}$$

$$=a^x\ln a\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}$$

观察到$\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}$是一个$\frac{0}{0}$型未定式，所以使用洛必达法则，得到

$$\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}=\lim_{\Delta t\to 1}\frac{1}{\frac{1}{t}}=t$$

所以

$$(a^x)’=a^x\ln a$$

此时若$a=e$，则有$(e^x)’=e^x\ln e=e^x$

这就是$e^x$的一个特性，它的导数等于它本身。

那么还有没有别的函数的导数等于本身呢？这个问题可以看我的知乎回答