求$(a^x)’$
即求
$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}$$
$$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$$
$$=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$
设
$$t=a^{\Delta x}$$
则
$$\Delta x=\log_a t$$
则原式可化为
$$=a^x\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\log_a t}$$
$$=a^x\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\frac{\ln t}{\ln a}}$$
$$=a^x\ln a\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}$$
观察到$\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}$是一个$\frac{0}{0}$型未定式,所以使用洛必达法则,得到
$$\lim_{\Delta t\to 1}\frac{t-1}{\ln t}=\lim_{\Delta t\to 1}\frac{1}{\frac{1}{t}}=t$$
所以
$$(a^x)’=a^x\ln a$$
此时若$a=e$,则有$(e^x)’=e^x\ln e=e^x$
这就是$e^x$的一个特性,它的导数等于它本身。
那么还有没有别的函数的导数等于本身呢?这个问题可以看我的知乎回答