导言
线性DP是动态规划入门算法,但也是必备算法.
当他和其他算法搭配在一起的时候,算法又有那些变化呢?
第二题
题意理解
圣诞老人共有$M$个饼干，准备全部分给$N$个孩子。
每个孩子有一个贪婪度，第 i 个孩子的贪婪度为 $g[i]$。
如果有 $a[i]$ 个孩子拿到的饼干数比第 $i$ 个孩子多，那么第 $i$ 个孩子会产生 $g[i] \times a[i]$的怨气。
给定$N、M$和序列$g$，圣诞老人请你帮他安排一种分配方式，使得每个孩子至少分到一块饼干，并且所有孩子的怨气总和最小。
输入格式
第一行包含两个整数N,M。
第二行包含N个整数表示$g_1$~$g_N$。
输出格式
第一行一个整数表示最小怨气总和。
第二行N个空格隔开的整数表示每个孩子分到的饼干数，若有多种方案，输出任意一种均可。
数据范围
$$
1 \le N \le 30, \\
N \le M \le 5000, \\
1 \le g_i \le 10^7 \\
$$
输入样例：
3 20
1 2 3
输出样例：
2
2 9 9
解题报告
题意理解
$M$个饼干,分给$N$个孩子,每一个孩子有一个贪婪度$g[i]$,和嫉妒值$a[i]$,如果有$a[i]$个孩子的饼干数比$i$多,那么就会产生怨气$g[i] \times a[i]$
要求怨气最少.
思路解析
状态初步
已经获得饼干的孩子个数,和已经发放的饼干,应该是我们的动态规划阶段.
但是我们发现,一个孩子产生的怨气,必然和其他孩子得到的饼干数有关.
$$
s[i]=
\begin{cases}
\mathcal a[i] \times g[i] \quad a[i]>0\\
\mathcal 0 \quad a[i]=0 \\
\end{cases}
\\
s[i]表示为第i个孩子他产生的怨气
$$
贪心优化
我们发现动态规划的状态设计,想出来不是很难.
但即使我们发现知道了这个状态设计,我们却无法推出动态规划转移方程.
孩子们的怨气产生是根据情况变化的,我们永远猜测不出来.妹子的心就是这样的
我们不得不想点办法?
其实我们发现,那些贪婪度度大的孩子,应该获得到更多的饼干.
所以说,我们按照贪婪度从小到大排序,然后每个孩子获得的饼干数应该也按照贪婪度从大到小排序.
越贪婪的人,得到的饼干越多.越漂亮的妹子,追求者越多
所以说饼干个数,是单调递减的.
转移方程
我们可以设置一下状态的具体表示.
$$
f[i][j]表示为前i个孩子,一共分配了j个饼干的最小怨气和.
$$
那么状态转移一下.
$$
a[i+1]=
\begin{cases}
\mathcal a[i+1]=i \quad cnt[i+1]<cnt[i] \quad 前i个孩子饼干都比他多,饼干数是单调递减的\\
\mathcal a[i+1] \quad cnt[i+1]=cnt[i] \quad 难以确定,不知道前面有多少个孩子饼干比他多\\
\end{cases}
\\
cnt[i]表示第i个孩子得到的饼干数
$$
当前问题就是,让我们去处理未知情况,也就是前面到底有多少个孩子饼干比它多.
等价变换
- 假如说我们当前第$i$个孩子,手中的饼干数大于$1$的话.
根据饼干数是单调递减可以得出,
$$
我们前i个孩子手中的饼干都是 \ge 1 \\
因为第i个孩子得到的饼干个数是最少的 \\
一个数列中最小值大于1,那么必然其他值都会大于1. \\
$$
分配$j$个饼干给前$i$个孩子,其实等价于分给$j-i$个饼干给前$i$个孩子.
相当于每一个孩子都少拿一个.
之所以$a[i]$没有改变,是因为所有的孩子们,比他们饼干数量多的孩子个数没有改变,相对的逻辑关系木有变化.
- 假如说第i个孩子只有1个饼干
我们只能选择枚举有多少个孩子只有一个饼干了,肯定不会很多.
$$
f[i][j]=min
\begin{cases}
\mathcal f[i][j-i] \\
\mathcal min_{0 \le k < i}{F[k,j-(i-k)]+k*\sum_{p=k+1}^{i}{g[p]}} \\
\end{cases}
\\
$$
代码解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fir(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define int long long
const int N=110;
const int M=5100;
int n,m,i,j,k,f[N][M],s[N],g[N],a[N][M],b[N][M],ans[M],c[N];
int cmp(int a,int b)
{
return g[a]>g[b];
}
void print(int n, int m)
{
if (n==0)
return;
print(a[n][m],b[n][m]);
if (a[n][m] == n)
{
fir(i,1,n)
ans[c[i]]++;
}
else
fir(i,a[n][m]+1,n)
ans[c[i]] = 1;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>m;
fir(i,1,n)
cin>>g[i],c[i]=i;
sort(c+1,c+1+n,cmp);
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[0][0]=0;
fir(i,1,n)
{
s[i]=s[i-1]+g[c[i]];
fir(j,i,m)
{
f[i][j]=f[i][j-i];
a[i][j]=i;
b[i][j]=j-i;
fir(k,0,i-1)
{
if (f[i][j]>f[k][j-(i-k)]+(s[i]-s[k+1-1])*k)
{
f[i][j]=f[k][j-(i-k)]+(s[i]-s[k+1-1])*k;
a[i][j]=k;
b[i][j]=j-(i-k);
}
}
}
}
cout<<f[n][m]<<endl;
print(n,m);
fir(i,1,n)
cout<<ans[i]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
%%%