微积分,是大学的必修,高中也略有涉及,极其简单。
0x00:引入
最开始的时候,牛顿因为在他的论文当中需要计算这样一个面积(我稍稍改变了一下)。
用蓝线,红线($f(x)=\frac{1}{x+1}$)和$x$轴所围成的就是要求的面积。
牛顿这人啊,脾气不好,不会做题目咋办?自己发明一种数学方法做这道题目!这就是微积分的开端。
0x01:基本函数的导数
一辆车肯定有一个一瞬间的速度,叫做瞬时速度,可以看作极小时间内的路程改变率,可以抽象为以下算式。
$$f’(x)=\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}$$
如
$$f(x)=x^2$$
则有
$$f’(x)=\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}=\frac{x^2+2\Delta x + \Delta^2-x^2}{\Delta}=\frac{2\Delta x + \Delta^2}{\Delta}=2x + \Delta=2x$$
所以
$$(x^2)’=2x$$
由此,我们可以导出一些公式
$$h(x)=k\times f(x) \to h’(x)=k \times f’(x)$$
证明:
$h(x)=k \times f(x) \to h’(x)=\frac{k\times f(x+\Delta)-k \times f(x)}{\Delta}=k \times \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}=k \times f’(x)$
$$f(x)=x^n \to f’(x)=n \times x^{n-1}$$
证明(展开后省略一阶以上无穷小):
$h(x)=x^n \to h’(x)=\frac{(x+\Delta)^n-x^n}{\Delta} \sim \frac{x^n+n \times \Delta x^{n-1} -x^n}{\Delta} = n \times x^{n-1}$
$$h(x)=f(x)+g(x) \to h’(x)=f’(x)+g’(x)$$
证明:
$h(x)=f(x)+g(x) \to h’(x)=\frac{f(x+\Delta)-f(x)+g(x+\Delta)-g(x)}{\Delta}=\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}+\frac{g(x+\Delta)-g(x)}{\Delta}=f’(x)+g’(x)$
$$h(x)=f(x)-g(x) \to h’(x)=f’(x)-g’(x)$$
证明:
$h(x)=f(x)-g(x) \to h’(x)=\frac{f(x+\Delta)-f(x)-g(x+\Delta)+g(x)}{\Delta}=\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}-\frac{g(x+\Delta)-g(x)}{\Delta}=f’(x)-g’(x)$
$$h(x)=f(x)\times g(x) \to h’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)$$
证明:
$h’(x)=\frac{f(x+\Delta)g(x+\Delta)-f(x)g(x)}{\Delta}=\frac{f(x+\Delta)g(x+\Delta)+f(x)g(x+\Delta)-f(x)g(x+\Delta)-f(x)g(x)}{\Delta}=\frac{g(x+\Delta)(f(x+\Delta)-f(x))+f(x)(g(x+\Delta)-g(x))}{\Delta}=g(x)f’(x)+f(x)g’(x)$
均可通过上方的$f’(x)=\frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}$求出。
证明:$h(x)=k \times f(x) \to h’(x)=\frac{k\times f(x+\Delta)-k \times f(x)}{\Delta}=k \times \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}=k \times f’(x)$
0x02:近似一次函数
如图$f(x)$的导函数$f’(x)$其实是在某一点$f(x)$的切线的斜率。
上面的是直接代公式,小学生都会。
如果你想要玩转$desmos$,必须学会近似一次函数。
在$x=a$处,$f(x) \sim f’(a)(x-a)+f(a)$
这就是近似一次函数。
由此可以导出
$$h(x)=\frac{g(x)}{f(x)} \to h’(x)=\frac{g’(x)f(x)-g(x)f’(x)}{f(x)^2}$$
$$h(x)=g(f(x)) \to h’(x)=g’(f(x))f’(x)$$
除法的微分公式我证明一下,复合函数微分公式的证明就是这一章节的作业,想要交作业的在acwing我的任何一个帖子回复证明。
设$p(x)f(x)=1$,则有在$x=a$处,$f(x) \sim f’(a)(x-a)+f(a),p(x) \sim p’(a)(x-a)+p(a)$
所以,$1=f(x)p(x) \sim (f’(a)(x-a)+f(a)) \times (p’(a)(x-a)+p(a)) = (x-a)(p(a)f’(a)+f(a)p’(a)) \sim p(a)f’(a)+f(a)p’(a)$
易得,$p’(a)=\large-\frac{f’(a)}{f(a)^2}$
代入$h’(x)=g’(x)p(x)+g(x)p’(x)$,易得$h’(x)=\frac{g’(x)f(x)-g(x)f’(x)}{f(x)^2}$
0x03:定积分
一个分段函数与x轴与y轴的面积可以通过分割成一个一个的长方形来计算面积。
一个平滑曲线与x轴与y轴的面积也可以通过分割成一个一个的长方形来计算面积。
如(引入部分的图片):
如果粉色的长方形更多,多到多出的部分趋近与0,那么就可以看做真实面积。
这时的面积记作$\int_{0}^{2}\frac{1}{x+1}dx$
若$g’(x)=f(x)$则$\int_{a}^{b}f(x)dx = g(b)-g(a)$
这个就是微积分基本定理。
证明:
设
$$g’(x)=f(x)$$
则
$$g(x_{a+1}-x_{a}) \sim f(x_{a})(x_{a+1}-x_{a})$$
$$g(x_{a+2}-x_{a+1}) \sim f(x_{a+1})(x_{a+2}-x_{a+1})$$
$$g(x_{a+3}-x_{a+2}) \sim f(x_{a+2})(x_{a+3}-x_{a+2})$$
$$g(x_{a+4}-x_{a+3}) \sim f(x_{a+3})(x_{a+4}-x_{a+3})$$
$$g(x_{a+5}-x_{a+4}) \sim f(x_{a+4})(x_{a+5}-x_{a+4})$$
$$g(x_{a+6}-x_{a+5}) \sim f(x_{a+5})(x_{a+6}-x_{a+5})$$
$$\cdots$$
$$g(x_{b}-x_{b-1}) \sim f(x_{b})(x_{b-1}-x_{b})$$
累加:
$$ g(x_{b}-x_{a}) \sim f(x_{a})(x_{a+1}-x_{a})+f(x_{a+1})(x_{a+2}-x_{a+1})+\cdots +f(x_{b})(x_{b-1}-x_{b})$$
可以发现,右边的式子就是利用近似一次函数算出来的$\int_{a}^{b}f(x)dx$,所以
若$g’(x)=f(x)$则$\int_{a}^{b}f(x)dx = g(b)-g(a)$
0x04:积分公式
积分公式有3个
$$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx$$
$$\int_{a}^{b}\{f\left(x\right)+g(x)\}dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$$
$$\int_{a}^{b}af\left(x\right)dx=a\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$
图解证明,一看就懂!
0x05:微分与积分的实例
从万米高空落下的物体几秒落地?(忽略空气阻力,$g=9.8m/s^2$)
这个问题有两种解决方案。
-
买一架飞机,到万米高空,扔一个东西。 -
用数学算一算
速度 $v(x)=9.8x$ ,速度的面积 $9.8x\times x \times \frac{1}{2} = 4.9x^2$ ,所以 $x$ 秒间物体落下的距离是 $4.9x^2$
解方程 $10000=4.9x^2$ ,解得 $x$ 约等于 $45.17$
享受45.17秒的痛苦吧——by某恐高症作者
我们教了这么多,是时候来做一些习题了!
1. 函数基本习题
- 已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)=8x+10$ ,当 $x$ 趋近于5时,这两个函数误差率趋于0
(1) 求 $f(5)$
趋于5时,这两个函数误差率趋于0,$f(5)=g(5)=50$
(2) 求 $f’(5)$
趋于5时,这两个函数误差率趋于0,$f’(5)=g’(5)=8$
- 已知函数 $f(x)=x^3$ 求 $f’(x)$
$$f’\left(x\right)=\frac{\left(x+\Delta \right)^{3}-x_{3}}{\Delta}=\frac{x^{3}+3\Delta x^{2}+3\Delta \cdot \Delta x+3 \Delta \cdot \Delta \cdot \Delta}{\Delta} = 3x^{2}$$
2.掌握微分的技巧
这里有几个公式大家可以掌握一下
$(x^n)’=n \times x^{n-1}$
$(e^x)’=e^x$
$(a^x)’=a^x \times \ln a$
$(\operatorname{sin}(x))’=\operatorname{cos}(x)$
$(\operatorname{cos}(x))’=-\operatorname{sin}(x)$
快乐解练习(作业):
求$(x^1+x^1+x^4+x^5+x^1+x^4)’$
求$(2^x)’$
求$(e^{2x}+x^3+x^5+2^x)’$
0x05:三角函数的微分积分证明(未完待续)
先把结论放出来
$(\sin a)’=\cos a$
$(\cos a)’=-\sin a$
$$ (\sin a)’=\frac{\sin x-\sin(x-Δx)}{Δx} $$
$$ =\frac{2\cos (x-\frac{Δx}{2})\sin{\frac{Δx}{2}}}{Δx} $$
$$ =\frac{\cos (x-\frac{Δx}{2})\sin{\frac{Δx}{2}}}{\frac{Δx}{2}} $$
$$ 又因为洛必达法则,当Δx->0时, $$
$$ \frac{\sinΔx}{Δx}->1 $$
故
$$ (\sin a)’=\cos a $$
这个问题有两种解决方案。
6
空气都没有了,飞机怎么能有升力呢
nbnbbnbnbbn
$$$$$$$$$$$$$$%%%%%%%%%%
龚子昂,别卷了,放过我们吧(GZAAKIOI)
更新啦
%%%
更新啦
tql
nb
更新啦
艹,这么卷,要知道你才多大,我才多大
QwQ
5555555555555555
Orz
这就是差距吗呜呜呜
微积分应该是竞赛必修课啊,如果我没记错是高中的选修课(竞赛)之一啊
你们都来踩我可恶
你们是六年级的吗,这么快卷微积分了呜呜呜
我这是稍微超前一下,你不知道的是我们初中班上有人初中数学物理都弄完了
QwQ
我才卷了初一上的历史地理语数英
az,我才把初中所有文言文背完,才预习到数学七下,才看物理化学Orz哈哈,高中数学二轮人路过
WC我把初三所有的都卷完了
qwq
……
更新啦
我才学完高中数学课内、一试。。
问大佬个问题,$y=x^x$的导数是多少
.....................................................................................................................................
这题其实有点变态。。
我认为可以复合函数捏!
手算了一下是
$$(x^x)*(1+lnx)$$
修了一下markdown
$$(x^x)\times (1+\ln x)$$
addd,大佬nb
Orz 我微积分才刚学一点/kel
orz
更新啦
Orzzzzz
更新啦
%%%
更新啦