$$二分图基础$$

$二分图的定义$

二分图,指一张无向图存在一种方案,把点集分成两个集合

使得各点集内部不出现边,并且所有边都从一个集合中的点,连向了另一个集合中的点

$二分图的判定$

如果一张无向图是二分图,那么图中一定不会出现长度为奇数的环

因此可以用bfs,给每一个节点染色,如果出现两个相邻的点的颜色相同,那么就一定不是二分图

$code$

bool paint(int u)
{
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = u, st[u] = true;
    color[u] = 1;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (!color[j])
            {
                color[j] = color[t] ^ 3;
                st[j] = true, q[++ tt] = j;
            }
            else if (color[t] == color[j])
                return false;
        }
    }

    return true;
}

$二分图最大匹配$

把一张无向图转变成二分图以后

图中所有点分成了左右两个集合

任意两条边都没有公共端点的边集合被称为图的一种匹配

所有匹配中边数最多的匹配被称为二分图的最大匹配

$增广路$

对于图中的一种匹配S

若e属于S,则称e为匹配边,否则为非匹配边

若存在一条连接两个非匹配点的路径path

并且匹配边与非匹配边在路径中交替出现

则称path是匹配S的增广路

二分图的一组匹配S是最大匹配,那么S一定不存在增广路

$匈牙利算法$

匈牙利算法用于计算二分图的最大匹配

主要步骤如下:

1.枚举所有左部的点x

2.枚举点x的所有边,以及边连向的点y

3.若y没有被匹配过,那么把边(x,y)加入匹配,x匹配成功

4.否则查看匹配点y的点z,尝试让z匹配其他点

5.若z匹配成功,那么拆掉z于y的边,加入边(x,y),并把z于新匹配点的边加入

6.若匹配失败,那么点x枚举下一个点y

$Code$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N], st[N];

void add(int a,int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int find(int u)
{
    for (int i = h[u]; ~i;i = ne[i])
    {
        int v = e[i];
        if (st[v])continue;

        st[v] = true;
        if (!match[v] || find(match[v]))
        {
            match[v]=u;
            return 1;
        }
    }

    return 0;
}

int main()
{
    cin>> n1 >> n2 >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        res += find(i);
    }

    cout<< res ;

    return 0;
}