证明

$$ m,n,x \in \mathbb{Z}^+, m > \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \iff mx > n $$

充分性

$$ \begin{aligned} & mx > n \\\ \Rightarrow\ & m > \frac{n}{x} \ge \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \\\ \Rightarrow\ & m > \lfloor \frac{n}{x} \rfloor \end{aligned} $$

必要性

令

$$n = kx + r,\ k \in \mathbb{Z},\ 0 \le r < x$$

则

$$ \begin{aligned} & m > \lfloor \frac{n}{x} \rfloor, m \in \mathbb{Z}^+ \\\ \Rightarrow\ & m \ge \lfloor \frac{n}{x} \rfloor + 1 = k + 1 > k + \frac{r}{x} \\\ \Rightarrow\ & mx > kx + r = n \\\ \Rightarrow\ & mx > n \end{aligned} $$

另见 上取整不等式的一个性质。