未优化的代码：
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M = 100010;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;//邻接矩阵存储图
int state[N];//state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离
int dist[N];//dist 数组保存源点到其余各个节点的距离
int n, m;//图的节点个数和边数
void add(int a, int b, int c)//插入边
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void Dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));//dist 数组的各个元素为无穷大
dist[1] = 0;//源点到源点的距离为置为 0
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历 dist 数组，找到没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点t
{
if (!state[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
t = j;
}
state[t] = 1;//state[i] 置为 1。
for (int j = h[t]; j != -1; j = ne[j])//遍历 t 所有可以到达的节点 i
{
int i = e[j];
dist[i] = min(dist[i], dist[t] + w[j]);//更新 dist[j]
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof(h));//邻接矩阵初始化
cin >> n >> m;
while (m--)//读入 m 条边
{
int a, b, w;
cin >> a >> b >> w;
add(a, b, w);
}
Dijkstra();
if (dist[n] != 0x3f3f3f3f)//如果dist[n]被更新了，则存在路径
cout << dist[n];
else
cout << "-1";
}
优化
看一下算法的时间复杂度：
for(i:1 ~ n)//n次
{
t <- 没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点;//每次遍一遍历dist数组，n次的复杂度是O(n^2)
state[t] = 1;
更新 dist;//每次遍历一个节点的出边，n次遍历了所有节点的边，复杂度为O(e)
}
算法的主要耗时的步骤是从dist 数组中选出：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点 t。只是找个最小值而已，没有必要每次遍历一遍dist数组。
在一组数中每次能很快的找到最小值，很容易想到使用小根堆。可以使用库中的小根堆（推荐）或者自己编写。
代码：
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接矩阵存储图
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//小根堆
heap.push({0, 1});//插入距离和节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();//取距离源点最近的点
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;//ver:节点编号，distance:源点距离ver 的距离
if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定，则跳过该点
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//更新ver所指向的节点距离
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({dist[j], j});//距离变小，则入堆
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
cout << dijkstra() << endl;
return 0;
}
//参考yxc
使用小根堆后，找到 t 的耗时从 O(n^2) 将为了 O(1)。每次更新 dist 后，需要向堆中插入更新的信息。所以更新dist的时间复杂度有 O(e) 变为了 O(e*logn)。总时间复杂度有 O(n^2) 变为了 O(n + e*longn)。适用于稀疏图。
总结
迪杰斯特拉算法适用于求正权有向图中，源点到其余各个节点的最短路径。注意：图中可以有环，但不能有负权边。
例如：如下图就不能使用迪杰斯特拉算法求节点 1 到其余各个节点的最短距离。
求个点赞~~
迪杰斯特拉算法采用的是一种贪心的策略。
求源点到其余各点的最短距离步骤如下：
-
用一个 dist 数组保存源点到其余各个节点的距离，dist[i] 表示源点到节点 i 的距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
用一个状态数组 state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 如果为真，则表示找到了源点到节点 i 的最短距离，state[i] 如果为假，则表示源点到节点 i 的最短距离还没有找到。初始时，state 各个元素为假。
-
源点到源点的距离为 0。即dist[1] = 0。
-
遍历 dist 数组，找到一个节点，这个节点是：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点。假设该节点编号为 i。此时就找到了源点到该节点的最短距离，state[i] 置为 1。
-
遍历 i 所有可以到达的节点 j，如果 dist[j] 大于 dist[i] 加上 i -> j 的距离，即 dist[j] > dist[i] + w[i][j]（w[i][j] 为 i -> j 的距离） ，则更新 dist[j] = dist[i] + w[i][j]。
-
重复 3 4 步骤，直到所有节点的状态都被置为 1。
-
此时 dist 数组中，就保存了源点到其余各个节点的最短距离。
伪代码：
int dist[n],state[n];
dist[1] = 0, state[1] = 1;
for(i:1 ~ n)
{
t <- 没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点;
state[t] = 1;
更新 dist;
}
#include<iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M = 100010;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;//邻接矩阵存储图
int state[N];//state 记录是否找到了源点到该节点的最短距离
int dist[N];//dist 数组保存源点到其余各个节点的距离
int n, m;//图的节点个数和边数
void add(int a, int b, int c)//插入边
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
void Dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));//dist 数组的各个元素为无穷大
dist[1] = 0;//源点到源点的距离为置为 0
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j++)//遍历 dist 数组，找到没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点t
{
if (!state[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
t = j;
}
state[t] = 1;//state[i] 置为 1。
for (int j = h[t]; j != -1; j = ne[j])//遍历 t 所有可以到达的节点 i
{
int i = e[j];
dist[i] = min(dist[i], dist[t] + w[j]);//更新 dist[j]
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof(h));//邻接矩阵初始化
cin >> n >> m;
while (m--)//读入 m 条边
{
int a, b, w;
cin >> a >> b >> w;
add(a, b, w);
}
Dijkstra();
if (dist[n] != 0x3f3f3f3f)//如果dist[n]被更新了，则存在路径
cout << dist[n];
else
cout << "-1";
}
优化
看一下算法的时间复杂度：
for(i:1 ~ n)//n次
{
t <- 没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点;//每次遍一遍历dist数组，n次的复杂度是O(n^2)
state[t] = 1;
更新 dist;//每次遍历一个节点的出边，n次遍历了所有节点的边，复杂度为O(e)
}
算法的主要耗时的步骤是从dist 数组中选出：没有确定最短路径的节点中距离源点最近的点 t。只是找个最小值而已，没有必要每次遍历一遍dist数组。
在一组数中每次能很快的找到最小值，很容易想到使用小根堆。可以使用库中的小根堆（推荐）或者自己编写。
代码：
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>//堆的头文件
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;//堆里存储距离和节点编号
const int N = 1e6 + 10;
int n, m;//节点数量和边数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;//邻接矩阵存储图
int dist[N];//存储距离
bool st[N];//存储状态
void add(int a, int b, int c)
{
e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//距离初始化为无穷大
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;//小根堆
heap.push({0, 1});//插入距离和节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();//取距离源点最近的点
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;//ver:节点编号，distance:源点距离ver 的距离
if (st[ver]) continue;//如果距离已经确定，则跳过该点
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])//更新ver所指向的节点距离
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
{
dist[j] = dist[ver] + w[i];
heap.push({dist[j], j});//距离变小，则入堆
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
add(a, b, c);
}
cout << dijkstra() << endl;
return 0;
}
//参考yxc
使用小根堆后，找到 t 的耗时从 O(n^2) 将为了 O(1)。每次更新 dist 后，需要向堆中插入更新的信息。所以更新dist的时间复杂度有 O(e) 变为了 O(e*logn)。总时间复杂度有 O(n^2) 变为了 O(n + e*longn)。适用于稀疏图。
总结
迪杰斯特拉算法适用于求正权有向图中，源点到其余各个节点的最短路径。注意：图中可以有环，但不能有负权边。
例如：如下图就不能使用迪杰斯特拉算法求节点 1 到其余各个节点的最短距离。
求个点赞~~
prim 算法干的事情是：给定一个无向图，在图中选择若干条边把图的所有节点连起来。要求边长之和最小。在图论中，叫做求最小生成树。
prim 算法采用的是一种贪心的策略。
每次将离连通部分的最近的点和点对应的边加入的连通部分，连通部分逐渐扩大，最后将整个图连通起来，并且边长之和最小。
我们将图中各个节点用数字 1 ~ n 编号。
要将所有景点连通起来，并且边长之和最小，步骤如下：
-
用一个 state 数组表示节点是否已经连通。state[i] 为真，表示已经连通，state[i] 为假，表示还没有连通。初始时，state 各个元素为假。即所有点还没有连通。
用一个 dist 数组保存各个点到连通部分的最短距离，dist[i] 表示 i 节点到连通部分的最短距离。初始时，dist 数组的各个元素为无穷大。
用一个 pre 数组保存节点的是和谁连通的。pre[i] = k 表示节点 i 和节点 k 之间需要有一条边。初始时，pre 的各个元素置为 -1。
-
从 1 号节点开始扩充连通的部分，所以 1 号节点与连通部分的最短距离为 0，即disti[1] 置为 0。
-
遍历 dist 数组，找到一个还没有连通起来，但是距离连通部分最近的点，假设该节点的编号是 i。i节点就是下一个应该加入连通部分的节点，stata[i] 置为 1。
用青色点表示还没有连通起来的点，红色点表示连通起来的点。
这里青色点中距离最小的是 dist[1]，因此 state[1] 置为 1。
-
遍历所有与 i 相连但没有加入到连通部分的点 j，如果 j 距离连通部分的距离大于 i j 之间的距离，即 dist[j] > w[i][j]（w[i][j] 为 i j 节点之间的距离），则更新 dist[j] 为 w[i][j]。这时候表示，j 到连通部分的最短方式是和 i 相连，因此，更新pre[j] = i。
与节点 1 相连的有 2， 3， 4 号节点。1->2 的距离为 100，小于 dist[2]，dist[2] 更新为 100，pre[2] 更新为1。1->4 的距离为 140，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 140，pre[2] 更新为1。1->3 的距离为 150，小于 dist[3]，dist[3] 更新为 150，pre[3] 更新为1。
-
重复 3 4步骤，直到所有节点的状态都被置为 1.
这里青色点中距离最小的是 dist[2]，因此 state[2] 置为 1。
与节点 2 相连的有 5， 4号节点。2->5 的距离为 80，小于 dist[5]，dist[5] 更新为 80，pre[5] 更新为 2。2->4 的距离为 80，小于 dist[4]，dist[4] 更新为 80，pre[4] 更新为2。
选dist[4]，更新dist[3]，dist[5]，pre[3]，pre[5]。
选dist[5]，没有可更新的。
选dist[3]，没有可更新的。
-
此时 dist 数组中保存了各个节点需要修的路长，加起来就是。pre 数组中保存了需要选择的边。
伪代码
int dist[n],state[n],pre[n];
dist[1] = 0;
for(i : 1 ~ n)
{
t <- 没有连通起来，但是距离连通部分最近的点;
state[t] = 1;
更新 dist 和 pre;
}
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N];//存储图
int dt[N];//存储各个节点到生成树的距离
int st[N];//节点是否被加入到生成树中
int pre[N];//节点的前去节点
int n, m;//n 个节点，m 条边
void prim()
{
memset(dt,0x3f, sizeof(dt));//初始化距离数组为一个很大的数（10亿左右）
int res= 0;
dt[1] = 0;//从 1 号节点开始生成
for(int i = 0; i < n; i++)//每次循环选出一个点加入到生成树
{
int t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++)//每个节点一次判断
{
if(!st[j] && (t == -1 || dt[j] < dt[t]))//如果没有在树中，且到树的距离最短，则选择该点
t = j;
}
st[t] = 1;// 选择该点
res += dt[t];
for(int i = 1; i <= n; i++)//更新生成树外的点到生成树的距离
{
if(dt[i] > g[t][i] && !st[i])//从 t 到节点 i 的距离小于原来距离，则更新。
{
dt[i] = g[t][i];//更新距离
pre[i] = t;//从 t 到 i 的距离更短，i 的前驱变为 t.
}
}
}
}
void getPath()//输出各个边
{
for(int i = n; i > 1; i--)//n 个节点，所以有 n-1 条边。
{
cout << i <<" " << pre[i] << " "<< endl;// i 是节点编号，pre[i] 是 i 节点的前驱节点。他们构成一条边。
}
}
int main()
{
memset(g, 0x3f, sizeof(g));//各个点之间的距离初始化成很大的数
cin >> n >> m;//输入节点数和边数
while(m --)
{
int a, b, w;
cin >> a >> b >> w;//输出边的两个顶点和权重
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],w);//存储权重
}
prim();//求最下生成树
//getPath();//输出路径
return 0;
}
优化
上面代码的时间复杂度为 O(n^2)。
与Dijkstra类似，Prim算法也可以用堆优化，优先队列代替堆，优化的Prim算法时间复杂度O(mlogn)。适用于稀疏图，但是稀疏图的时候求最小生成树，Kruskal 算法更加实用。
Dijkstra 算法的优化见：
迪杰斯特拉算法–助我去网吧：https://mp.weixin.qq.com/s/dvxtcGBuVCQ8xH6cy3p0ng
画图不易，求个点赞~~
