代数基本定理的证明
1. 代数基本定理 (一个$n$次方程至多有$n$个实数根.)
2. 引理-1: 极值定理
假设函数$f$定义在闭区间$(a,b)$内, 并且点$c$在$(a,b)$区间内, 如果点$c$为函数的局部最大值或最小值, 则点$c$一定为该函数的临界点, 即$f’(c)=0$或$f’(c)$不存在.
证明: 首先假设$f$在$x=c$处有一个局部最小值. 如果$f’(c)$不存在, 则它就是一个临界点, 即证. 另一方面, 如果$f’(c)$存在, 那么:
$$
f’(c)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.
$$
由于$f$在$c$上有一个局部最小值, 因而我们知道当$c+h$非常接近$c$时, $f(c+h)\ge f(c)$. 当然, 只有当$h$接近于$0$时, $c+h$才会非常接近$c$. 对于这样的$h$, 上述分式中的分子$f(c+h)-f(c)$一定是非负的.
当$h>0$时, 量$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$一定是非负的; 因此左极限$\lim\limits_{h\to0^+}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}} \ge 0$;
当$h<0$时, 量$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$一定是非正的; 因此右极限$\lim\limits_{h\to0^-}{\frac{f(c+h)-f(c)}{h}} \le 0$;
因为双侧极限存在, 所以左右极限相等,都为$0$, 即只有当$f’(c)=0$时或$f’(c)$不存在时, 点$c$为函数$f$的局部最小值.
当$f$在$x=c$处有一个局部最大值时, 同理可证. $\qquad \Box$
3. 引理-2: 罗尔定理
假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续, 在开区间$(a,b)$内可导. 如果$f(a)=f(b)$, 那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$, 使得$f’(c)=0$.
证明: (1). 若区间最大值和区间最小值都出现在端点$a,b$上. 由于$f(a)=f(b)$, 那么该函数在区间$[a,b]$内一定是常数, 则对于任意在此区间内的点$c$, 都有$f’(c)=0$.
(2). 若区间最小值不出现在端点$a$上, 则区间最小值一定在区间$(a,b)$上, 设为点$c$. 由于$f$在开区间$(a,b)$内可导, 由极值定理, 得: $f’(c)=0$.
(3). 若区间最大值不出现在端点$a$上, 同(2)可证. $\qquad \Box$
4. 回到原命题
设该$n$次多项式为$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$, 若其有$n+1$个实数根, 设为$x_1<x_2<\cdots<x_{n+1}$. 显然其在$\mathbb{R}$上可导, 对区间$[x_1,x_2]$, $[x_2, x_3]$, $\cdots$, $[x_n, x_{n+1}]$使用罗尔定理, 得:
$n-1$次多项式$f’(x)=b_{n-1}x^{b-1}+\cdots+b_0$至少有$n$个实数根, 设为$y_1<y_2<\cdots<y_n$,且其在$\mathbb{R}$上可导, 对区间$[y_1,y_2]$, $[y_2,y_3]$, $\cdots$, $[y_{n-1}, y_n]$使用罗尔定理, 得:
$\cdots\cdots\cdots$
最终可得$1$次多项式$f^{(n-1)}(x)=Ax+B$至少有$2$个实数根, 矛盾!
所以$n$次多项式$f(x)$至多有$n$个实数根. $\qquad \Box$