题目描述
$n−$皇后问题是指将 $n$ 个皇后放在 $n×n$ 的国际象棋棋盘上,使得皇后不能相互攻击到,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
现在给定整数 $n$,请你输出所有的满足条件的棋子摆法。
输入格式
共一行,包含整数 $n$。
输出格式
每个解决方案占 $n$ 行,每行输出一个长度为 $n$ 的字符串,用来表示完整的棋盘状态。
其中 . 表示某一个位置的方格状态为空,$Q$ 表示某一个位置的方格上摆着皇后。
每个方案输出完成后,输出一个空行。
注意:行末不能有多余空格。
输出方案的顺序任意,只要不重复且没有遗漏即可。
数据范围
$1≤n≤9$
样例
输入样例:
4
输出样例:
.Q..
...Q
Q...
..Q.
..Q.
Q...
...Q
.Q..
算法1
全排列
将每一行看成一个空位, 共有n个空位, 每个空位上填 列数(0 - n-1)
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10;
// 方法一:
// 将每一行看成一个空位, 共有n个空位, 每个空位上填 列数(0 - n-1)
int n;
int path[N]; // 存储路径
// g[N][N]存储棋盘
char g[N][N];
// col[N] 存储列
// dg[N] 存储对角线
// udg[N] 存储反对角线
bool col[N], dg[N], udg[N];
// 深度优先搜索
void dfs(int u){
// 递归结束的条件
// 所有位置都有元素
if (u == n)
{
// 输出棋盘
for (int i=0; i<n; i++)
puts(g[i]);
puts("");
return;
}
// dfs核心
// 第一个位置存0, 获得一条路径; 第一个位置存1, 获得一条路径...
for (int i=0; i<n; i++)
{
if (!col[i] && !dg[i + u] && !udg[i-u+n])
{
g[u][i] = 'Q';
path[u] = i; //表示第u行存储的是第i列
col[i] = dg[i+u] = udg[i-u+n] = true;
dfs(u+1); //下一个空位(进行递归)
col[i] = dg[i+u] = udg[i-u+n] = false;
g[u][i] = '.';
}
}
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
g[i][j] = '.';
// 从第1个位置开始搜索
dfs(0);
return 0;
}
算法2
暴力枚举
从第一个格子开始, 从左到右挨个枚举所有格子
每个格子都有两种情况: 放皇后, 不放皇后
出界(y==n)的时候到下一行的第一个格子(y=0, x++)
时间复杂度
参考文献
C++ 代码
#include <iostream>
using namespace std;
// 方法二:
// 从第一个格子开始, 从左到右挨个枚举所有格子
// 每个格子都有两种情况: 放皇后, 不放皇后
// 出界(y==n)的时候到下一行的第一个格子(y=0, x++)
const int N = 20;
int n;
char g[N][N];
// row[N] 行
// col[N] 列
// dg[N] 对角线
// udg[N] 反对角线
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N];
void dfs(int x, int y, int s)
{
// 出界(y==n)的时候到下一行的第一个格子(y=0, x++)
if (y == n) y=0, x++;
// 所有格子枚举完
if (x == n)
{
// s用于记录摆的皇后的个数
if (s == n)
{
// 如果皇后个数是n
// 输出棋盘
for (int i=0; i<n; i++) puts(g[i]);
puts("");
}
return;
}
// 当前格子的两种选择
// 1.不放皇后
dfs(x, y+1, s);
// 2.放皇后
// 行、列、对角线、反对角线都不能有皇后
if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n])
{
g[x][y] = 'Q';
row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
dfs(x, y+1, s+1);
row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
g[x][y] = '.';
}
}
int main()
{
cin >> n;
// 初始化棋盘
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=0; j<n; j++)
g[i][j] = '.';
dfs(0, 0, 0);
return 0;
}