算法

(组合计数,卡特兰数) $O(n^2)$

首先任何一种合法的入栈、出栈操作序列都可以得到一个不同的1~n的排列，因此可以得到的排列总数等于合法入栈、出栈操作序列的个数。

将入栈操作记作0，出栈操作记作1，那么任意一个合法的入栈、出栈操作序列都和AcWing 889. 满足条件的01序列中定义的合法01序列一一对应，因此本题的答案和上一题相同，都是第n个卡特兰数。

时间复杂度

在本题中我们使用公式 $C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$ 来计算卡特兰数。时间复杂度是 $O(n^2)$。

C++ 代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 40;

LL c[N][N];

int main()
{
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];

    int n;
    cin >> n;

    cout << c[n * 2][n] / (n + 1) << endl;

    return 0;
}