题目描述：01背包问题

有 N 件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi, wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

[HTML_REMOVED]

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例

8

基本思考框架

C++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

/*
f[i][j]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大时多少

result = max{f[n][0~v]} //考虑n个物品 

枚举有两种情况（其实是递推式） 
1.不选第i个物品 , f[i][j] = f[i-1][j];
2.选第i个物品 , f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]+w[i];
那么最优解 f[i][j] = max(situ1 , situ2) 

然后我们还要考虑初始化的问题
这里合法的初始化只有 f[0][0] = 0;
*/ 
const int N = 1010;

int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++) cin>>v[i]>>w[i];

    //枚举 前i个物品
    //枚举 体积0~m 
    //都是从小到大递推 
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
        {
            //枚举情况1 
            f[i][j] = f[i-1][j];
            //枚举情况2 , 如果这个状态的前一个状态合法, 就递推过来 ,并筛选 
            //一定是j-v[i]>=0 
            if(j-v[i]>=0)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }

    int res = 0;
    for(int i = 0 ; i <= m ; i++)
    {
        res = max(res,f[n][i]);
    }

    cout<<res<<endl;

 } 

优化思路

我稍微修改了中间段代码，使其在样例输入的情况下输出更新次序：

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
        {

            if(j==0) printf("\n");
            f[i][j] = f[i-1][j];

            if(j-v[i]>=0&&f[i-1][j-v[i]]+w[i]>f[i][j])
                printf("f[%d,%d]=f[%d,%d]+%d=%d    ",i,j,i-1,j-v[i],w[i],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            else
                printf("f[%d,%d]=f[%d,%d]=%d      ",i,j,i-1,j,f[i][j]);

            if(j-v[i]>=0)
            {

                f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }

然后有如下性质

于是我们可以这样优化代码，将语句等价变换，改动处看注释。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;

int n,m;
int f[N];//改 f[N][N]->f[N]
int v[N],w[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++) cin>>v[i]>>w[i];

    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
        for(int j = m ; j >= v[i] ; j --)//改了循环条件，j从大到小更新！！！！
        {
            //改,删除了：f[i][j] = f[i-1][j],因为f[j]=f[j]无意义
            //改,删除了 if(j-v[i]>=0),将此处判断简化到for循环里
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }


    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;

 } 

为什么j要从大得到小更新

我先把核心代码修改成这样，让j从小到大更新，并且输出更新次序。让大家看看结果

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
       puts("");
        for(int j = v[i] ; j <= m ; j ++)//从小到大更新
        {   
            if(f[j-v[i]]+w[i]>f[j])
                printf("f[%d]=f[%d]+%d=%d    ",j,j-v[i],w[i],f[j-v[i]]+w[i]);
            else
                printf("f[%d]=f[%d]=%d      ",j,j,f[j]);

             f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
}

输出结果如下（依旧是样例输入数据），我们发现，此时的更新变成了”横向更新”而不是我们所期待的层层更新。所以这种写法显然是错误的。

[HTML_REMOVED]接着我们把循环语句改一下使j要从大得到小更新，再输出更新次序测试一下[HTML_REMOVED]

for(int j = m ; j >= v[i] ; j --)

输出

不难发现，此时变量更新间的迭代达到我们希望的层层更新