题目描述

中位数是有序序列最中间的那个数。如果序列的大小是偶数，则没有最中间的数；此时中位数是最中间的两个数的平均数。

例如：

• [2,3,4] 的中位数是 3
• [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

给定一个数组 nums，有一个大小为 k 的窗口从最左端滑动到最右端。窗口中有 k 个数，每次窗口向右移动 1 位。你的任务是找出每次窗口移动后得到的新窗口中元素的中位数，并输出由它们组成的数组。

样例

给出 nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7]，以及 k = 3。

窗口位置                       中位数
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       1
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7      -1
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7      -1
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       3
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       5
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      6

因此，返回该滑动窗口的中位数数组 [1,-1,-1,3,5,6]。

说明

• 你可以假设 k 始终有效，即：k 始终小于输入的非空数组的元素个数。
• 与真实值误差在 10^-5 以内的答案将被视作正确答案。

算法

(双堆) $O(n \log k)$

1. 定义一个小根堆 min_heap 和一个大根堆 max_heap，小根堆的堆顶大于等于大根堆的堆顶。
2. 保证小根堆的大小比大根堆的大小多 1 或相等。
3. 按照上述的定义，小根堆的堆顶或者两个堆的堆顶的平均值就是中位数。
4. 添加元素时，若小根堆为空或添加的元素大于等于小根堆堆顶，则添加进小根堆；否则添加到大根堆；
5. 添加后，若两个堆的大小不满足 2 中的要求，则进行调整。
6. 删除元素时，只需要在小根堆或大根堆删除一个等于该元素值的元素即可。
7. 由于此题涉及删除操作，所以堆的容器采用 multiset，方便操作。

时间复杂度

• 由于堆的大小最大为 $k$，在 multiset 中添加或删除元素的时间复杂度为 $O(\log k)$，共需要操作 $n$ 次，故总时间复杂度为 $O(n \log k)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n)$ 的空间存储堆。

C++ 代码

class Solution {
public:
    multiset<int> min_heap, max_heap;
    multiset<int>::iterator it;

    void insert(int x) {
        if (min_heap.size() == 0 || x >= *min_heap.begin())
            min_heap.insert(x);
        else
            max_heap.insert(x);

        if (min_heap.size() > max_heap.size() + 1) {
            it = min_heap.find(*min_heap.begin());
            max_heap.insert(*it);
            min_heap.erase(it);
        } else if (max_heap.size() > min_heap.size()) {
            it = max_heap.find(*max_heap.rbegin());
            min_heap.insert(*it);
            max_heap.erase(it);
        }
    }

    void erase(int x) {
        it = max_heap.find(x);
        if (it != max_heap.end()) {
            max_heap.erase(it);
        } else {
            it = min_heap.find(x);
            min_heap.erase(it);
        }

        if (min_heap.size() > max_heap.size() + 1) {
            it = min_heap.find(*min_heap.begin());
            max_heap.insert(*it);
            min_heap.erase(it);
        } else if (max_heap.size() > min_heap.size()) {
            it = max_heap.find(*max_heap.rbegin());
            min_heap.insert(*it);
            max_heap.erase(it);
        }
    }

    vector<double> medianSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size();
        vector<double> ans;

        for (int i = 0; i < k - 1; i++)
            insert(nums[i]);

        for (int i = k - 1; i < n; i++) {
            insert(nums[i]);
            if (k & 1) ans.push_back(*min_heap.begin());
            else ans.push_back((0.0 + *min_heap.begin() + *max_heap.rbegin()) / 2);

            erase(nums[i - k + 1]);
        }

        return ans;
    }
};