题目描述

累加数是一个字符串，组成它的数字可以形成累加序列。

一个有效的累加序列必须至少包含 3 个数。除了最开始的两个数以外，字符串中的其他数都等于它之前两个数相加的和。

给定一个只包含数字 '0'-'9' 的字符串，编写一个算法来判断给定输入是否是累加数。

说明

• 累加序列里的数不会以 0 开头，所以不会出现 1, 2, 03 或者 1, 02, 3 的情况。

样例

输入："112358"
输出：true 
解释：累加序列为: 1, 1, 2, 3, 5, 8 。1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8

输入："199100199"
输出：true 
解释：累加序列为: 1, 99, 100, 199。1 + 99 = 100, 99 + 100 = 199

进阶

• 你如何处理一个溢出的过大的整数输入?

算法

(暴力枚举，高精度加法) $O(n^3)$

1. 首先枚举开头两个数，然后根据题意每次做高精度加法逐一向后判断。

时间复杂度

• 枚举开头两个数的时间需要 $O(n^2)$，累加高精度加法验证只需要总共 $O(n)$ 的时间，故总时间复杂度为 $O(n^3)$。

空间复杂度

• 需要额外 $O(n)$ 的空间存储高精度计算用的数组。

C++ 代码

class Solution {
public:
    string add(const string &x, const string &y) {
        int n = x.length(), m = y.length();
        if ((x[0] == '0' && n > 1) || (y[0] == '0' && m > 1))
            return "!";

        int l = max(n, m);

        vector<int> a(l, 0), b(l, 0), c(l + 1, 0);
        for (int i = 0; i < n; i++)
            a[n - i - 1] = x[i] - '0';
        for (int i = 0; i < m; i++)
            b[m - i - 1] = y[i] - '0';

        for (int i = 0; i < l; i++) {
            c[i] += a[i] + b[i];
            c[i + 1] += c[i] / 10;
            c[i] %= 10;
        }

        string ans = "";
        if (c[l] > 0)
            ans += c[l] + '0';
        for (int i = l - 1; i >= 0; i--)
            ans += c[i] + '0';
        return ans;
    }

    bool check(const string &num, int first, int second) {
        int n = num.length();
        int last = -1;
        do {
            string res = add(num.substr(last + 1, first - last), num.substr(first + 1, second - first));
            for (int i = second + 1, j = 0; j < res.length(); i++, j++) {
                if (i == n || num[i] != res[j])
                    return false;
            }
            last = first;
            first = second;
            second = second + res.length();
        } while (second < n - 1);

        return true;
    }

    bool isAdditiveNumber(string num) {
        int n = num.length();
        for (int first = 0; first < n - 1; first++)
            for (int second = first + 1; second < n - 1; second++)
                if (check(num, first, second))
                    return true;

        return false;
    }
};