题目描述
给定一个n个点m条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E),其中V表示图中点的集合,E表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
算法:Prim算法求最小生成树
时间复杂度$O(N^2+M)$
需要注意
(1)与Dijkstra算法进行对比,循环次数为n次
(2)更新距离用的是当前点到选出来的点的距离(更新当前点到集合的点的距离)
C++代码1(邻接矩阵)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N];
int n,m;
int d[N];
bool st[N];
int res;
int prim()
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!st[j] && (t==-1 || d[j]<d[t]))
t=j;
}
if(i && d[t]==0x3f3f3f3f)return 0x3f3f3f3f;
if(i)res+=d[t];
st[t]=true;
for(int j=1;j<=n;j++)d[j]=min(d[j],g[t][j]);
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
}
int t=prim();
if(t==0x3f3f3f3f)cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<t<<endl;
return 0;
}
C++代码2(链式前向星邻接表)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510,M=200010;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m;
bool st[N];
int d[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int prim()
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
int res=0;
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!st[j] && (t==-1 || d[t]>d[j]))
t=j;
}
st[t]=true;
if(i && d[t]==0x3f3f3f3f)return 0x3f3f3f3f;
if(i)res+=d[t];
for(int j=h[t];~j;j=ne[j]){
int k=e[j];
d[k]=min(d[k],w[j]);
}
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
add(b,a,c);
}
int t=prim();
if(t==0x3f3f3f3f)cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<t<<endl;
return 0;
}