题目描述

给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。

给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。

算法：Prim算法求最小生成树

时间复杂度$O(N^2+M)$

需要注意

(1)与Dijkstra算法进行对比，循环次数为n次
(2)更新距离用的是当前点到选出来的点的距离（更新当前点到集合的点的距离）

C++代码1（邻接矩阵）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N=510;
int g[N][N];
int n,m;
int d[N];
bool st[N];
int res;

int prim()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j] && (t==-1 || d[j]<d[t]))
                t=j;
        }
        if(i && d[t]==0x3f3f3f3f)return 0x3f3f3f3f;
        if(i)res+=d[t]; 
        st[t]=true;
        for(int j=1;j<=n;j++)d[j]=min(d[j],g[t][j]);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);
    }
    int t=prim();
    if(t==0x3f3f3f3f)cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<t<<endl;
    return 0;    
}

C++代码2（链式前向星邻接表）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
const int N=510,M=200010;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m;
bool st[N];
int d[N];

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

int prim()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    int res=0;

    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j] && (t==-1 || d[t]>d[j]))
                t=j;
        }
        st[t]=true;
        if(i && d[t]==0x3f3f3f3f)return 0x3f3f3f3f;
        if(i)res+=d[t];

        for(int j=h[t];~j;j=ne[j]){
            int k=e[j];
            d[k]=min(d[k],w[j]);
        }
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }
    int t=prim();
    if(t==0x3f3f3f3f)cout<<"impossible"<<endl;
    else cout<<t<<endl;
    return 0;    
}