题目描述
一个n行n列的螺旋矩阵可由如下方法生成:
从矩阵的左上角(第1行第1列)出发,初始时向右移动;如果前方是未曾经过的格子,则继续前进,否则右转;重复上述操作直至经过矩阵中所有格子。
根据经过顺序,在格子中依次填入$1,2,3,…,n^2$,便构成了一个螺旋矩阵。
下图是一个n=4时的螺旋矩阵。
现给出矩阵大小n以及i和j,请你求出该矩阵中第i行第j列的数是多少。
输入格式
输入共一行,包含三个整数 n,i,j,每两个整数之间用一个空格隔开,分别表示矩阵大小、待求的数所在的行号和列号。
输出格式
输出共一行,包含一个整数,表示相应矩阵中第i行第j列的数。
数据范围
$1≤n≤30000$,
$1≤i,j≤n$
输入样例:
4 2 3
输出样例:
14
算法思想
注意题目中给出的数据范围,$1≤n≤30000$,使用二维数组进行模拟的话会爆空间。考虑要求矩阵中第x
行第y
列的数,可以像剥洋葱一样,一层层地把矩阵剥开。只要确定x
和y
在矩阵的哪一层,就可以快速地计算出其所对应的值。
确定位置所在层
在矩阵中,可以通过位置$(x,y)$的上下左右偏移量的最小值确定其所在层,例如下图中第4行2列的数23,top = 4, down = 2, left = 2, right = 4
,其最小之为2
,所以它位于矩阵的第二层。
找到$(x,y)$所在层后,可以使用循环计算出其所在层左上角的位置(r,c)
和该位置对应的数ans
,以及该层所在矩阵的大小n
。例如第4行2列的数23,其所在层的左上角的位置 是$(2,2)$,对应的数为$ans=1 + 4 \times (5 - 1)=17$,子矩阵的大小为$n = 5 - 2 = 3$。
其中$1$为起点对应的数,除了起点第一行有$(5-1)$个数、第5列有$(5-1)$个数、第5行有$(5-1)$个数、第1列有$(5-1)$个数。
同理,其它层也可以这么计算。
通过偏移计算结果
计算出位置$(x,y)$所在矩阵左上角的位置$(r,c)$,和该位置对应的数字ans
,以及该层矩阵的大小n
,可以通过判断位置$(x,y)$的位置,快速计算出该位置对应的数:
- 如果在矩阵第一行上,即
x == r
,ans += y- c
- 如果在矩阵最后一列上,即
y == c + n - 1
,ans += n - 1 + x - r
- 如果在矩阵最后一行上,即
x == r + n - 1
,ans += 3 * (n - 1) - (y - c)
- 如果在矩阵第一列上,即
y == c
,ans += 4 * (n - 1) - (x - r)
算法效率
时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(1)$。
代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n, x, y;
cin >> n >> x >> y;
int up = x, down = n - x + 1, left = y, right = n - y + 1;
//确定矩阵中第x行第y列的数,在矩阵的第t层
int t = min(min(up, down), min(left, right));
int ans = 1, r = 1, c = 1;
for(int i = 1; i < t; i ++)
{
ans += 4 * n - 4; //第t层左上角的第一个数为ans
r ++, c ++; //第t层左上角的位置为(r,c)
n -= 2;//第t层的子矩阵大小减少2
}
if(x == r) ans += y - c; //如果在该层的第一行上
//如果在该层的最后一列
else if(y == c + n -1) ans += n - 1 + x - r;
//如果在该层的最后一行
else if(x == r + n - 1 ) ans += 3 * n - 3 - (y - c);
//如果在该层的第一列
else ans += 4 * n - 4 - (x - r);
cout << ans << endl;
return 0;
}
OTZ
请问在矩阵最后一列上的情况,为什么不能写成