题目描述
X 国王有一个地宫宝库,是 n×m 个格子的矩阵,每个格子放一件宝贝,每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角,出口在右下角。
小明被带到地宫的入口,国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时,如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大,小明就可以拿起它(当然,也可以不拿)。
当小明走到出口时,如果他手中的宝贝恰好是 k 件,则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算,在给定的局面下,他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入格式
第一行 3 个整数,n,m,k,含义见题目描述。
接下来 n 行,每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数,表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大,输出它对 1000000007 取模的结果。
数据范围
1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12
样例
输入样例1:
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1:
2
输入样例2:
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2:
14
四维线性DP(数字三角形模型)
思路还是很好想的,确实不难,
但是仍然要注意一些边界条件,尤其是dp的初始化,还是有一定挑战性的
状态表示dp[i][j][m][n]->走到i,j格子时最大值为n,共拿了m件物品
前一种状态是不取:$dp[i-1][j][m][n]+dp[i][j-1][m][n]$,因为没拿任何物品,所以只有坐标改变
满足一定条件:(a[i][j]==n)
$取:dp[i-1][j][m-1][n’]+dp[i][j-1][m-1][n’]$,此处n’未知,但一定<n,所以
需要另外一重循环来枚举$n’$的取值
大致思路明确了,接下来需要判断一些边界条件,我这里没有全部按照y总的来
这里初始化感觉确实不容易想:主要坑点就是价值可能为0,导致我们边界需要从-1开始
而数组下标为-1会越界,所以我们让所有数+1,那么最小值就是1,这时候0就是小于所有数的最小值了
这里初始化主要是要将第一次的dp初始化,第一次取与不取
不取那就是dp[0][1][0][0]与dp[1][0][0][0]
取的话就是dp[0][1][1][-1]与dp[1][0][1][-1];
所以不取的话(1,1)的状态是dp[1][1][0][0],取的话是dp[1][1][1][a[1][1]];
让这两个值都初始化成1就行了
C++ 代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=55,M=15,mod=1e9+7;
int a[N][N],dp[N][N][M][M];
int n,m,k;
int main()
{
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
a[i][j]++;
}
dp[1][1][0][0]=1;
dp[1][1][1][a[1][1]]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int u=0;u<M;u++)
for(int v=0;v<M;v++)
{
int &val=dp[i][j][u][v];
val=(val+dp[i-1][j][u][v])%mod;
val=(val+dp[i][j-1][u][v])%mod;
if(a[i][j]==v&&u>0){实测(u>0)不加也可以,但是不加并不严谨
for(int w=0;w<v;w++){
val=(val+dp[i-1][j][u-1][w])%mod;
val=(val+dp[i][j-1][u-1][w])%mod;
}
}
}
int res=0;
for(int i=1;i<=M;i++)res=(res+dp[n][m][k][i])%mod;
cout<<res<<endl;
return 0;
}
错误代码
错误原因:这里的max变成了dp过程中的最大值,是错误的
应该是每一种可能性的最大值,类似于dfs中需要回溯(恢复状态)
因此不能简单的用一个变量表示
需要额外开一个维度的数组来存储max的所有状态再dp
C++ 代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N=51;
const int mod=1e9+7;
int a[N][N],dp[N][N][N];
int main()
{
int n,m,k;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
int max=-1000;
//到达i,j格子中取k件物品的方案数为1
for(int i=0;i<=n;i++)dp[i][0][0]=1;
for(int i=0;i<=m;i++)dp[0][i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
for(int w=0;w<=k;w++){
//默认不取
dp[i][j][w]+=(dp[i-1][j][w]+dp[i][j-1][w])%mod;
//如果可以取
if(a[i][j]>max){
max=a[i][j];
dp[i][j][w]+=(dp[i-1][j][w-1]+dp[i][j-1][w-1])%mod;
}
dp[i][j][w]%=mod;
}
cout<<dp[n][m][k];
return 0;
}