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宣传一下算法提高课整理

Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。

她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。

地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。

问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。

输入格式

第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。

接下来是T组数据。

每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。

每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。

输出格式

对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。

数据范围

$1 \le T\le 100$,
$1 \le R,C \le 100$,
$0 \le M \le 1000$

输入样例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

输出样例：

8
16

思路1

闫氏$\text{DP}$分析法：
状态表示：$f_{i,j}$

• 集合：$f_{i,j}$表示从$(1,1)$到$(i,j)$的路径的集合
• 属性：$\max$

状态计算：

• 从上面走过来，也就对应着$f_{i-1,j}$
• 做左边走过来，也就对应着$f_{i,j-1}$
• 所以最后的状态转移方程就是$f_{i,j}=\max\lbrace f_{i-1,j},f_{i,j-1} \rbrace + a_{i,j}$

答案：

• 根据定义，答案就是$f_{n,m}$

代码1

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int a[N][N];
int f[N][N];
int main () {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) cin >> a[i][j];
        }
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) f[i][j] = max (f[i - 1][j],f[i][j - 1]) + a[i][j];
        }
        cout << f[n][m] << endl;
    }
    return 0;
}

思路2

由于每次更新当前数的数都是上一行或同一行，我们就可以用滚动数组来优化。

代码2

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int a[N][N];
int f[2][N];
int main () {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        memset (f,0,sizeof (f));
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) cin >> a[i][j];
        }
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) f[i & 1][j] = max (f[(i - 1) & 1][j],f[i & 1][j - 1]) + a[i][j];
        }
        cout << f[n & 1][m] << endl;
    }
    return 0;
}

思路3

因为每次只用到两层，而在计算过程中，当前算到的点$i$，在$f$数组中的$f[i-1]$其实是原来的$f[i][j-1]$，因为它是被更新过的，而$f[i]$却相当于$f[i][j-1]$，因为它没被更新过，所以这种优化是正确的。

代码3

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110;
int n,m;
int a[N][N];
int f[N];
int main () {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        memset (f,0,sizeof (f));
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) cin >> a[i][j];
        }
        for (int i = 1;i <= n;i++) {
            for (int j = 1;j <= m;j++) f[j] = max (f[j],f[j - 1]) + a[i][j];
        }
        cout << f[m] << endl;
    }
    return 0;
}