21.2.10更新:
- 代码变量命名与题目一致
- 题解思路变得更详细了
- 加入了不断优化版本的解法
1. 题目介绍
有 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包,每件物品有各自的价值且只能被选择一次,要求在有限的背包容量下,装入的物品总价值最大。
「0-1 背包」是较为简单的动态规划问题,也是其余背包问题的基础。
动态规划是不断决策求最优解的过程,「0-1 背包」即是不断对第 $i$ 个物品的做出决策,「0-1」正好代表不选与选两种决定。
2. 题解代码(C++)
2.1 版本1 二维
(1)状态f[i][j]
定义:前 $i$ 个物品,背包容量 $j$ 下的最优解(最大价值):
- 当前的状态依赖于之前的状态,可以理解为从初始状态
f[0][0] = 0
开始决策,有 $N$ 件物品,则需要 $N$ 次决 策,每一次对第 $i$ 件物品的决策,状态f[i][j]
不断由之前的状态更新而来。
(2)当前背包容量不够(j < v[i]
),没得选,因此前 $i$ 个物品最优解即为前 $i-1$ 个物品最优解:
- 对应代码:
f[i][j] = f[i - 1][j]
。
(3)当前背包容量够,可以选,因此需要决策选与不选第 $i$ 个物品:
- 选:
f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
。 - 不选:
f[i][j] = f[i - 1][j]
。 - 我们的决策是如何取到最大价值,因此以上两种情况取
max()
。
代码如下:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int v[MAXN]; // 体积
int w[MAXN]; // 价值
int f[MAXN][MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j];
// 能装,需进行决策是否选择第i个物品
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
2.2 版本2 一维
将状态f[i][j]
优化到一维f[j]
,实际上只需要做一个等价变形。
为什么可以这样变形呢?我们定义的状态f[i][j]
可以求得任意合法的i
与j
最优解,但题目只需要求得最终状态f[n][m]
,因此我们只需要一维的空间来更新状态。
(1)状态f[j]
定义:$N$ 件物品,背包容量j
下的最优解。
(2)注意枚举背包容量j
必须从m
开始。
(3)为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序?在二维情况下,状态f[i][j]
是由上一轮i - 1
的状态得来的,f[i][j]
与f[i - 1][j]
是独立的。而优化到一维后,如果我们还是正序,则有f[较小体积]
更新到f[较大体积]
,则有可能本应该用第i-1
轮的状态却用的是第i
轮的状态。
(4)例如,一维状态第i
轮对体积为 $3$ 的物品进行决策,则f[7]
由f[4]
更新而来,这里的f[4]
正确应该是f[i - 1][4]
,但从小到大枚举j
这里的f[4]
在第i
轮计算却变成了f[i][4]
。当逆序枚举背包容量j
时,我们求f[7]
同样由f[4]
更新,但由于是逆序,这里的f[4]
还没有在第i
轮计算,所以此时实际计算的f[4]
仍然是f[i - 1][4]
。
(5)简单来说,一维情况正序更新状态f[j]
需要用到前面计算的状态已经被「污染」,逆序则不会有这样的问题。
状态转移方程为:f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]
。
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= 0; j--)
{
if(j < v[i])
f[i][j] = f[i - 1][j]; // 优化前
f[j] = f[j]; // 优化后,该行自动成立,可省略。
else
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 优化前
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]); // 优化后
}
实际上,只有当枚举的背包容量 >= v[i]
时才会更新状态,因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
}
关于状态f[j]
的补充说明
二维下的状态定义f[i][j]
是前 $i$ 件物品,背包容量 $j$ 下的最大价值。一维下,少了前 $i$ 件物品这个维度,我们的代码中决策到第 $i$ 件物品(循环到第i
轮),f[j]
就是前i
轮已经决策的物品且背包容量 $j$ 下的最大价值。
因此当执行完循环结构后,由于已经决策了所有物品,f[j]
就是所有物品背包容量 $j$ 下的最大价值。即一维f[j]
等价于二维f[n][j]
。
2.3 版本3 优化输入
我们注意到在处理数据时,我们是一个物品一个物品,一个一个体积的枚举。
因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值,而是边输入边处理。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
int f[MAXN]; //
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w; // 边输入边处理
for(int j = m; j >= v; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
orz 这是我看见过对二维到一维优化讲的最清楚的一个了
版本三好棒,借鉴走了😚
牛逼
非常厉害$orz$,如果能配上一个贴图就更好了,其实也是很好写的~
若j从小到大,f[j-v[i]]中,由于j-v[i]小于j,f[j-v[i]]已经在i这层循环被计算了,而我们想要的f[j-v[i]]应该是i-1层循环里面的,所以j从大到小的话保证此时的f[j-v[i]]还未被计算,也就是第i-1层的数据
厉害啊Java 版:
没想到又在这里活捉了抱抱(滑稽)
😁😁
牛逼
tql
yyds
nb!
nb
nice
兄弟你写的太棒了!!!!!!!!!!
这个题解写的真的太有水平了!!!!
你的字为什么比我大
可以用markdown语法,我用的是H1标头
[HTML_REMOVED]
这个不是按照状态决策来理解的么? 我感觉 y总 的集合理解法更清晰易懂。
f[i][j] 表示 一个 集合的属性,然后状态转移 就是对 集合的拆分。
抢到了第660个赞和第400个收藏QwQ
for循环变量为什么不能从0开始取?从零开始取,结果不对
这里的i是有实际含义的 i=0的实际含义是0个物品,显然不对
f[0-1]
显然越界了从0开始 i<n 不是<=
为啥压到一维后状态f[j]的定义是:N 件物品,背包容量j下的最优解。
可不可以是 M容量下,j件物品下的最优解
真不错
for(int j = 1; j <= m; j++)是什么意思呢,一直不明白,j<背包容量??
我理解是背包不一定要刚好装满时的价值最大,所以让背包的容量从0-m遍历找到最大价值时的j就行了