一.欧几里得算法(辗转相除法) $\quad O(log(a+b))$
先引入欧几里得算法公式:gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
注意:对于d|a,d|b,那么会有d|(ax+by) $\color{red}{①}$证明:
设a和b的最大公约数为d.
一.正推
有$d \mid a \\quad 且 \quad d \mid b \quad \\\\$
那么d|(a%b)吗? ,首先$ a\%b = a - [\frac{a}{b}] \ast b = a - c \ast b $,由①可知d|a%b显然成立,
二.反推
由$d|b,d|(a \% b)$推gcd(a,b),只需证d|a即可
$由上可知d|(a \% b)=d|(a - [\frac{a}{b}] \ast b),结合d|b,可得d|(a - [\frac{a}{b}] \ast b + [\frac{a}{b}] \ast b) 即 d|a$
证毕.
当a%b==0时,gcd(b,a%b)的最大公约数显然就是b了
代码(C++) -> 朴素版
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(a%b==0) return b;
return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
}
return 0;
}
精简版
#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
while(n--)
{
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<gcd(a,b)<<endl;
}
}
强