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宣传一下算法提高课题解合集
423.采药
辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师
为此,他想拜附近最有威望的医师为师
医师为了判断他的资质,给他出了一个难题
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?
输入格式
输入文件的第一行有两个整数 $T$ 和 $M$,用一个空格隔开
$T$ 代表总共能够用来采药的时间,$M$ 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间(包括 $1$ 和 $100$)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出文件包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
数据范围
$1 \le T \le 1000$,
$1 \le M \le 100$
输入样例:
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例:
3
一看这道看了几十遍的水题的名字,就知道是 01背包
(太经典了$QWQ$)
还是先写一下基本思路:
解法:01背包
复杂度:$O(nm)$:
01背包
的状态有:
状态表示:在前 i 个物品中,且使用体积不超过 j 的最大值
状态转移:$$f[i][j] = \begin{cases} f[i][j] = max \{ f[i − 1][j − v[i]] + w[i] \} \text{选第 i 个物品} \\ f[i][j] = f[i - 1][j] \text{不选第 i 个物品} \end{cases}$$
因为状态 $f[i][j]$ 仅依赖于第 $i - 1$ 层的状态
所以可以在代码中优化掉一维空间(详见代码)
变量名解释
$m$ 代表总共能够用来采药的时间
$n$ 代表山洞里的草药的数目
$f[]$ 数组:dp方程
c++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1009;
int n, m;
//n 代表山洞里的草药的数目
//m 代表总共能够用来采药的时间
int f[N];//转移方程
int main()
{
cin >> m >> n;//输入
for (int i = 0, v, w;i < n;++ i)
//枚举每一个物品 i
{
cin >> v >> w;
//v 是采摘某株草药的时间
//w 是这株草药的价值
for (int j = m;j >= v;-- j)//枚举物品容量
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);//转移方程
//这里直接优化掉一维,枚举 j 的顺序
}
cout << f[m] << endl;//本来应该是 f[n][m],这里优化掉了
return 0;
}
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