#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 2e3 + 5;
int f[N];
struct Good {
int v, w;
};
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<Good> goods;
for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 读入物品
int v, w, s;
cin >> v >> w >> s;
for (int j = 1; j <= s; j *= 2) { // 将物品按2^n个合并成一个,最后合并s - 2^n个
s -= j;
goods.push_back({v * j, w * j});
}
if (s > 0) goods.push_back({v * s, w * s});
}
for (auto good : goods) { // 拆分好的物品跑一个01背包
for (int j = m; j >= good.v; j --) {
f[j] = max(f[j], f[j - good.v] + good.w);
}
}
cout << f[m] << '\n';
return 0;
}
这道题是多重背包的升级版,数据量增加了,三重循环过不了了。
这里使用二进制优化的方法来优化时间复杂度。
对于多重背包我们可以将多种相同的物品拆分成单个,例如体积为1,价值为2的物品有3个,我们可以看作有3个体积为1,价值为2的物品,这样把所有的物品都拆成1个,问题就变成了一个01背包问题。
但是如果都拆成单个物品来看,时间复杂度并没有变少,只是换了一种方法来解决问题而已。我们可以利用任何正整数都可以表示为某些2的幂的和这一性质(十进制的二进制表示),将物品按照 (2^0, 2^1, 2^2 …2^n) 这样2的幂次方个数物品来进行合并(2^n 个物品合并成一个物品),假设物品有s个,如果2^n小于s,最后可以合并s - 2^n个物品。这样任意1 ~ s个物品我都们都可以用我们拆出来的物品数量组合出来,和有s个物品是等价的。
拆完物品后,我们用拆好的所有物品跑一个01背包就可以得出结果了,这样的时间复杂度大约是O(n^2)。
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