题目描述
给你一根长度为 n 绳子,请把绳子剪成 m 段(m、n 都是整数,2≤n≤58 并且 m≥2)。
每段的绳子的长度记为 k[1]、k[2]、……、k[m]。
k[1]k[2]…k[m] 可能的最大乘积是多少?
例如当绳子的长度是 8 时,我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段,此时得到最大的乘积 18。
样例
输入:8
输出:18
算法 (数学)
算法原理
数学的经典问题,正整数划分使得切分后乘积最大
结论:分成尽可能多的3
- n % 3 == 0, 刚好划分
- n % 3 == 1, 把最后的1和前面的3换成2个2
- n % 3 == 2, 剩下2就行
证明
首先将正整数N拆分成若干正整数只有有限种拆法,所以存在最大乘积
假设 $N=n_1+n_2+…+n_k$
且 $n_1n_2…n_k$ 是最大乘积
1)不会存在1
因为划分出来1不会让乘积变大,故这种划分是有问题的
2)证明所有的ni都一定小于5(反证)
若某个$n_i >= 5$,将$n_i$拆分成$3+(n_i - 3)$,必然有 $3*(n_i) = 3n_i -9 > n_i$, 因为$2n_i > 9$。
此时划分必然不是乘积最大划分,矛盾,故$n_i$都小于5
3)证明一定可以没有4
若$n_i = 4$,拆分成$2+2$后乘积不变,不妨假设没有4
4)证明最多只有2个2
最多两个2, 因为3 * 3 > 2 * 2 * 2,此时替换成3乘积更大
综上,选用尽可能多的3,直到剩下2/4,用2
时间复杂度 $O(n)$
当 n 比较大时,n 会被拆分成 $⌈n/3$⌉ 个数
需要计算这么多次减法和乘法
C++ 代码
class Solution {
public:
int maxProductAfterCutting(int n) {
if(n <= 3) return 1 * (n - 1); //题意要求划分次数>=2
int res = 1;
if(n % 3 == 1) //剩下4
res = 4, n -= 4;
else if(n % 3 == 2) //剩下2
res = 2, n-= 2;
while(n) //全部划分成3
res *= 3, n -=3;
return res;
}
};
总结
这种考察数学知识的题目好难啊,得靠积累,一时半会儿想不出来