经过一夜的深思熟虑,终于想通了^_^
题目描述
金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。
更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过N元钱就行”。
今天一早,金明就开始做预算了,他把想买的物品分为两类:主件与附件,附件是从属于某个主件的,下表就是一些主件与附件的例子:
如果要买归类为附件的物品,必须先买该附件所属的主件。
每个主件可以有0个、1个或2个附件。
附件不再有从属于自己的附件。
金明想买的东西很多,肯定会超过妈妈限定的N元。
于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为5等:用整数1~5表示,第5等最重要。
他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是10元的整数倍)。
他希望在不超过N元(可以等于N元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j],重要度为w[j],共选中了k件物品,编号依次为j1,j2,…,jk,则所求的总和为:
v[j1]∗w[j1]+v[j2]∗w[j2]+…+v[jk]∗w[jk](其中*为乘号)
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
输入文件的第1行,为两个正整数,用一个空格隔开:N m,其中N表示总钱数,m为希望购买物品的个数。
从第2行到第m+1行,第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据,每行有3个非负整数v p q,其中v表示该物品的价格,p表示该物品的重要度(1~5),q表示该物品是主件还是附件。
如果q=0,表示该物品为主件,如果q>0,表示该物品为附件,q是所属主件的编号。
输出格式
输出文件只有一个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<200000)。
数据范围
N<32000,m<60,v<10000
输入样例
1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0
输出样例
2200
算法
(DP,分组背包) $O(nm)$
题目大意:
在不超过N元的前提下,使其价值最大(价格x重要度).其中,如果要买附件的话,要先买其对应的主件.
可以将每个主件及其附件看作一个物品组,记主件为 p,两个附件为 a,b,则最多一共有4种组合:
1.p
2.p a
3.p b
4.p a b
这四种组合是互斥的,最多只能从中选一种,因此可以将每种组合看作一个物品,那么问题就变成了分组背包问题。
如何来枚举我们的决策呢?—
没错,我们采用二进制的思想,用附件的个数来代表二进制的位数,依次枚举我们的决策,取出其中的1,即代表我们的方案
码前必备
PII a[N];//主件
vector<PII> b[N];//附件
int f[M];
二进制枚举
先枚举物品,再枚举体积,最后是决策
for(int j = 0; j < 1 << b[i].size(); j ++ )
{
int v = a[i].fi, w = a[i].se;
for(int k = 0; k < b[i].size(); k ++ )
{
if(j >> k & 1)
{
v += b[i][k].fi;
w += b[i][k].se;
}
}
if(u >= v) f[u] = max(f[u],f[u - v] + w);
}
有附件的话,主件是必选的,依次取出对应位,是1代表取,最后DP一下,OK;
输入处理
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v,p,q;
cin >> v >> p >> q;
p *= v;
if(!q) a[i] = {v,p};
else b[q].pb({v,p});
}
q为0,代表是主件,把它放在主件数组.反之----
参考文献
C++ 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
typedef pair<int,int> PII;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
const int N = 62, M = 32010;
PII a[N];//主件
vector<PII> b[N];//附件
int f[M];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
int n,m;
cin >> m >> n;
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int v,p,q;
cin >> v >> p >> q;
p *= v;
if(!q) a[i] = {v,p};//q为0,代表是主件,把它放在主件数组
else b[q].pb({v,p});
}
for(int i = 1; i <= n; i ++ )//物品
{
for(int u = m; u >= 0; u -- )//体积
{
for(int j = 0; j < 1 << b[i].size(); j ++ )//决策
{
int v = a[i].fi, w = a[i].se;
for(int k = 0; k < b[i].size(); k ++ )
{
if(j >> k & 1)
{
v += b[i][k].fi;
w += b[i][k].se;
}
}
if(u >= v) f[u] = max(f[u],f[u - v] + w);
}
}
}
cout << f[m] << "\n";
return 0;
}