采药
NOIP2005年普及组复赛第3题
原题链接
https://www.acwing.com/problem/content/425/
这篇题解我是觉得,没啥希望能收获很多赞(因为优质题解已经很多了,而且我这个蒟蒻写的也一般般),所以只要是写给自己复习一下的
(当然你能点赞我更开心)
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子,他的梦想是成为世界上最伟大的医师。
为此,他想拜附近最有威望的医师为师。
医师为了判断他的资质,给他出了一个难题。
医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说:“孩子,这个山洞里有一些不同的草药,采每一株都需要一些时间,每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间,在这段时间里,你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子,你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰,你能完成这个任务吗?
输入格式
输入文件的第一行有两个整数 $T$ 和 $M$,用一个空格隔开,$T$ 代表总共能够用来采药的时间,$M$ 代表山洞里的草药的数目。
接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间(包括 $1$ 和 $100$)的整数,分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出格式
输出文件包括一行,这一行只包含一个整数,表示在规定的时间内,可以采到的草药的最大总价值。
数据范围
$1≤T≤1000$,
$1≤M≤100$
样例
输入样例:
70 3
71 100
69 1
1 2
输出样例:
3
算法
DP 01背包
其实这道题就是裸01背包
so,我们先从普通的01背包二维做起:
我们很容易就知道,01背包的状态转移方程是这样的:
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i])(j>=w[i])
为什么呢?
想一想就明白,$max$内第一项是指不选这个物品,为这个重量的最大值
而第二项是选这个物品,从j−w[i]
这个重量加上当前重量w[i]
的最大值加上本次选的物品的价值
听起来可能有点绕哈,多读几遍其实就懂了
那么,本次介绍的是一维数组(会的大佬请移步)
我们将$f$数组降成一维,还好写一点(什么玄学东西)
改进一下思路,如果我们以f[j]
储存原来的f[i][j]
,是否可行呢?
想想,原来我们的最大值是由f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+c[i]
两个状态中的最大值转移过来的,所以,这个问题就转化成,能否在求f[i][j]
时就求出了上面两个状态的值
其实是可以的,但有个细节,一维数组中$j$的扫描顺序应该从大到小($m$到$0$),否则前一次循环保存下来的值将会被修改,从而造成错误——变成完全背包
c++代码
好了,方程推完了,接下来上代码:
二维:
#include<iostream>
using namespace std;
int t,m,a[110],b[110],dp[110][1100];
int main()
{
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]>>b[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=1;j<=t;j++)
{
if(a[i]<=j) dp[i][j]=max(dp[i-1][j],b[i]+dp[i-1][j-a[i]]);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[m][t];
return 0;
}
一维:
#include<iostream>
using namespace std;
int t,m,a[110],b[110],dp[1100];
int main()
{
cin>>t>>m;
for(int i=1;i<=m;i++) cin>>a[i]>>b[i];
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=t;j>=a[i];j--) dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i]);
}
cout<<dp[t];
return 0;
}
我这篇题解被我手残删了啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊
az
其实字小一点会更美观
额。额。额额额额。。。
这求赞套路……🐂🍺
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