4087. 插入排序

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。

小 $Z$ 是一名大一的新生,今天 $H$ 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 $O(1)$,则插入排序可以以 $O(n^2)$ 的时间复杂度完成长度为 $n$ 的数组的排序。

不妨假设这 $n$ 个数字分别存储在 $a_1, a_2, · · · , a_n$ 之中,则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式:

这下面是 C/C++ 的示范代码

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = i; j>=2; j‐‐)
        if ( a[j] < a[j‐1] ){
            int t = a[j‐1];
            a[j‐1] = a[j];
            a[j] = t;
        }

这下面是 Pascal 的示范代码

for i:=1 to n do
    for j:=i downto 2 do
        if a[j]<a[j‐1] then
            begin
                t:=a[i];
                a[i]:=a[j];
                a[j]:=t;
            end;

为了帮助小 $Z$ 更好的理解插入排序,小 $Z$ 的老师 $H$ 老师留下了这么一道家庭作业:

$H$ 老师给了一个长度为 $n$ 的数组 $a$,数组下标从 $1$ 开始,并且数组中的所有元素均为非负整数。

小 $Z$ 需要支持在数组 $a$ 上的 $Q$ 次操作,操作共两种,参数分别如下:

  • 1 x v : 这是第一种操作,会将 $a$ 的第 $x$ 个元素,也就是 $a_x$ 的值,修改为 $v$。保证 $1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ v ≤ 10^9$。注意这种操作会改变数组的元素,修改得到的数组会被保留也会影响后续的操作。
  • 2 x : 这是第二种操作,假设 $H$ 老师按照上面的伪代码对 $a$ 数组进行排序,你需要告诉 $H$ 老师原来 $a$ 的第 $x$ 个元素,也就是 $a_x$,在排序后的新数组所处的位置。保证 $1 ≤ x ≤ n$。注意这种操作不会改变数组的元素,排序后的数组不会被保留,也不会影响后续的操作。

$H$ 老师不喜欢过多的修改,所以他保证类型 $1$ 的操作次数不超过 $5000$。

小 $Z$ 没有学过计算机竞赛,因此小 $Z$ 并不会做这道题。

他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $n, Q$,表示数组长度和操作次数。保证 $1 ≤ n ≤ 8000, 1 ≤ Q ≤ 2 × 10^5$。

输入的第二行包含 $n$ 个空格分隔的非负整数,其中第 $i$ 个非负整数表示 $a_i$。保证 $1 ≤ a_i ≤ 10^9$。

接下来 $Q$ 行,每行 $2 \sim 3$ 个正整数,表示一次操作,操作格式见题目描述。

输出格式

对于每一次类型为 $2$ 的询问,输出一行一个正整数表示答案。

数据范围

对于所有测试数据,满足 $1 ≤ n ≤ 8000, 1 ≤ Q ≤ 2×10^5, 1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ v, a_i ≤ 10^9$。

对于所有测试数据,保证在所有 $Q$ 次操作中,至多有 $5000$ 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

QQ截图20211108141845.png

输入样例:

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

输出样例:

1
1
2

样例解释

在修改操作之前,假设 $H$ 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 2, 1$。

在修改操作之前,假设 $H$ 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 $3, 1, 2$。

注意虽然此时 $a_2 = a_3$,但是我们不能将其视为相同的元素